Тема I – Линейная алгебра (стр. 2 )

, значит, .

Аналогично, определитель получаем из D заменой столбца коэффициентов при переменной y на столбец свободных коэффициентов:

,

.

Далее, определитель получаем из D заменой третьего столбца на столбец свободных коэффициентов:

,

Таким образом, решением системы является тройка чисел (-1;1;1). Подстановкой в уравнения системы убеждаемся, что решение найдено верно.

Вопросы и задачи

п1. Существуют ли обратные матрицы для матриц

, , ?

п2. Проверьте, является ли А-1 обратной матрицей для матрицы А:

а),; б),

п3. Найдите обратную матрицу для матрицы . Проверьте результат.

п4. Решите матричные уравнения: а) АХ=В; б) ХА=В,

если ,

п5. Запишите систему линейных уравнений в виде матричного уравнения:

а) ; б)

п6. Решите систему а) из предыдущего задания при помощи обратной матрицы

п7. Решите, используя правило Крамера:

а) ; б)

п8. Можете ли вы привести пример системы линейных уравнений, которая имела бы ровно 2 решения?

Задания к практическим занятиям

1. Найдите обратную матрицу А-1, если

а) ; б) ; в)

2. Как исправить ошибочно найденные матрицы А-1 из задания п2?

3. Решите систему, используя обратную матрицу:

;

4. Решите системы линейных уравнений, используя метод Гаусса:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е)

5.Решить системы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е)

ТЕМА II – АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

4-5. Векторы

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте §5 лекций и предложенные примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.

Примеры.

Даны точки: А(1;0), В(3;1), С(2;5)

1. Найти координаты векторов .

Решение: Для того, чтобы найти координаты вектора, следует из координат конца вектора (вторая указанная в его названии точка) вычесть координаты начала (первая точка):

; ;

2. Найти четвертую вершину параллелограмма ABCD.

Решение: Для того, чтобы четырехугольник АВСD был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы противолежащие стороны были параллельны и равны по длине. Иными словами, векторы, образующие противолежащие стороны, должны быть равны: . Для этого должны быть равны координаты этих векторов: ,

следовательно, , откуда .

Таким образом, искомая точка D(0;4)

Даны векторы: .

3. Найти скалярное произведение векторов и ,

Решение: Найдем координаты указанных векторов:

,

.

Воспользуемся координатным выражением скалярного произведения векторов:

4. Найти векторное произведение векторов и ,

Решение: Воспользуемся координатным выражением векторного произведения векторов:

.

Таким образом,

5. Найти стороны и углы треугольника, образованного данными векторами, отложенными из одной точки.

Решение: Стороны треугольника как длины образующих его векторов можно найти, зная координаты этих векторов. Найдем предварительно координаты вектора , образующего третью сторону треугольника. По правилу вычитания векторов, . Теперь воспользуемся координатным выражением модуля вектора:

, ,

.

Далее, угол между векторами, зная их координаты, мы можем найти при помощи скалярного произведения.

Угол А треугольника образован векторами , следовательно,

.

Угол В образован векторами , следовательно,

.

Угол С образован векторами , следовательно,

Заметим, что все углы данного треугольника острые; если один из углов тупой, то соответствующий косинус отрицателен.

6. Найти площадь этого треугольника.

Решение: Есть несколько способов найти площадь треугольника, мы воспользуемся способом, связанным с векторами, а именно – геометрическим смыслом векторного произведения. Согласно ему, площадь треугольника АВС равна половине модуля векторного произведения векторов .

Векторное произведение векторов равно