Тема I – Линейная алгебра (стр. 4 )

l3: y-5=1×(x-(-2)), или

l3: х - y+7=0.

Далее, угол между прямыми равен острому углу между векторами, перпендикулярными этим прямым (или смежному если найденный угол тупой). Одним из векторов, перпендикулярных прямой, является вектор с координатами, равными коэффициентам при неизвестных в уравнении этой прямой.

Таким образом, имеем два вектора: и . Найдем косинус угла между векторами при помощи скалярного произведения:

.

Полученное число положительно, следовательно, угол острый и окончательно имеем

.

Вопросы и задачи

п1. Дано уравнение прямой l: 2x-3y+1=0.

а) укажите координаты вектора, перпендикулярного данной прямой

б) проходит ли данная прямая через начало координат?

в) являются ли какие-либо из данных ниже прямых параллельными или перпендикулярными прямой l?

l1: 2x+3y-1=0; l2: 4x-6y+3=0; l3: 3x-2y+1=0; l4: 3x+2y-2=0;

l5: 3y-2x=0; l6: 9x+6y-7=0

п2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(2;-1) и составляющей угол 60о с положительным направлением оси Ох. Найти точки пересечения этой прямой с осями координат.

п3. Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(2;-3), В(-1;1). Найти угол наклона этой прямой.

п4. Написать уравнение прямой, перпендикулярной прямой l: 3x+y-2=0 и проходящей через точку А(-1;2).

п5. Написать уравнение прямой, параллельной прямой l: 5x-3y+4=0 и проходящей через точку А(3;2).

п6. Даны прямые: l1: x+3y-11=0, l2: 4у-5х+7=0. Найти их точку пересечения и угол между ними.

п7. Даны уравнения кривых второго пордка. Определить вид кривой, параметры (у эллипса – полуоси, фокусы, эксцентриситет; у гиперболы – полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот; у параболы – фокус, уравнение директрисы). Сделать чертеж.

а) x2-4y2=1; б) ; в) x2=3y; г) ; д) y2=-8x

Задания к практическому занятию

1. Найти острый угол между прямыми 3х+у-7=0 и 2х-у+1

2. Даны уравнения сторон треугольника

(АВ): х+3у-7=0, (ВС): 4х-у-2=0, (АС): 6х+8у-35=0. Найти высоту треугольника, опущенную из вершины В

3. Даны вершины треугольника. Найти точку пересечения высот:

A(2; 1), B(-1; -1), C(3; 2)

4. Даны 3 точки – вершины прямоугольной трапеции ABCD (основания АD и ВС). Найти четвертую вершину. A(-4; 5), B(0; 8), C(4; 6)

5. Даны 3 точки; найти расстояние от точки М до прямой ВС:

М(-8; 12), В(2; -3), С(-5; 1)

6. Даны 3 точки. Найти точку М, симметричную точке С относительно прямой АВ: A(-2; 0), B(3; 2), C(-1; 7)

7. Даны вершины треугольника. Найти точку пересечения серединных перпендикуляров. A(3; 2), B(5; -2), C(1; 0)

8. Даны 2 точки – вершины прямоугольного равнобедренного треугольника (угол В – прямой). Найти третью вершину. A(-2; 1), B(4; -2)

9. Даны 2 соседние вершины квадрата. Найти две других вершины.

A(-1; -1), B(3; -2)

10. Даны 3 точки. На прямой АВ найти такую точку D c целочисленными координатами, чтобы треугольник ACD был прямоугольным.

A(-1; 0), B(3; -1), C(2; 3)

11. Дана прямая l: 2х-у+3=0. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей с данной прямой угол

12. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(5;0) и В(1;4), если ее центр лежит на прямой х+у-3=0

13. Составить уравнение общей хорды окружностей х2+у2=16 и (х-5)2+у2=9

14. Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку М(9;8), если асимптоты гиперболы имеют уравнения

15. Через точку М(0;1) и правую вершину гиперболы 3х2-4у2=12 проведена прямая. Найти вторую точку пересечения прямой и гиперболы.

16. Привести уравнения к каноническому виду, изобразить задаваемые ими кривые:

а) х2+у2-8х+6у=0; б) у=4х-2х2; в) х=-4у2+у; г) 36х2+36у2-36х-24у-23=0;

д); е) х2+4у2+4х-8у+9=0; ж) х2+4у2+8у+5=0;

з)х2-у2-6х+10=0; и)-2х2+4х+2у-3=0; к)9х2-4у2-18х-8у-31=0; л)4х2-у2+16х+2у+15=0

ТЕМА III – ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

8. Предел последовательности

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте предложенные рассуждения и примеры. Выполните письменно задания. Прочитайте §10 лекций.

Напомним для начала, что числовая последовательность – это бесконечный упорядоченный набор чисел. Члены последовательности можно пронумеровать, так что каждому натуральному значению n (1,2,3,…) соответствует член последовательности (а1, а2, а3,…). Таким образом, последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Задают последовательность чаще всего формулой общего члена. Например, если , то первые члены этой последовательности:

Понятие предела последовательности поясним пока на простых примерах:

- Последовательность натуральных чисел 1,2,3,4,5,… неограниченно возрастает или стремится к плюс бесконечности: n®+¥. Поскольку n – натуральные числа и не могут быть отрицательными, знак «+» обычно опускают, подразумевая его «по умолчанию», и пишут n®¥.

- Последовательность : стремится к 0 при n®¥. Действительно, при очень больших значениях n значения становятся очень

маленькими, так что, хотя члены этой последовательности не становятся равны 0, но отграничить их от 0 невозможно: начиная с некоторого номера все члены этой последовательности оказываются ближе к 0, чем любое заранее выбранное число e. Это легко понять, например если изобразить члены последовательности точками на числовой прямой.

Пишут: (предел при n®¥ равен 0) или иногда .

- Сходным образом и т. п. Вообще, если числитель дроби постоянен, а знаменатель неограниченно взрастает, то вся дробь стремится к 0.

При вычислении пределов последовательностей пользуются простыми их свойствами:

-  предел суммы равен сумме пределов (если последние существуют и конечны);

-  предел произведения равен произведению пределов (если последние существуют и конечны);

-  предел отношения равен отношению пределов (если последние существуют и конечны и предел знаменателя не равен 0).

Примеры.

1. Вычислить .

Решение: При n®¥ и числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности. Говорят, что имеет место неопределенность вида .

Из трех слагаемых числителя быстрее всего возрастает слагаемое старшей степени, т. е. 3n2. Вынесем за скобки n2:

Аналогичным образом преобразуем знаменатель:

.

В целом получаем:

Заметим, что слагаемые при n®¥ стремятся к 0 и, таким образом, после сокращения дроби на n2, имеем:

.

2. Вычислить .

Решение: Имеется неопределенность вида . Преобразуем дробь, вынеся за скобки старшую степень n в числителе и знаменателе:

.

3. Вычислить .

Решение: Имеется неопределенность вида . Преобразуем дробь:

4. Вычислить .

Решение: Имеется неопределенность вида . Преобразуем дробь, вынеся старшую степень из каждого множителя:

Вопросы и задачи

п1. Выписать первые 4 члена последовательности:

а) ; б) ; в)