Решение:
а)
.
б)
.
в) 
.
г) 
.
д) 
.
Производная широко применяется в исследовании функции и при решении связанных с этим практических задач. В том числе дифференцирование применяют для вычисления пределов, используя так называемое правило Лопиталя:
Предел отношения функций, представляющий неопределенность вида 
или 
, равен пределу отношения их производных: 
Заметим при этом, что если возможно заменить какие-либо функции им эквивалентными, это следует сделать перед применением правила Лопиталя для облегчения процесса дифференцирования.
Вопросы и задачи
п1. Найти производные функций:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) 
;
е)
; ж)
; з)
; и)
; к)
Задачи к практическому занятию
Для данной функции 
найти производную 
:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:
16. 
; 17. 
; 18. 
;
19. 
; 20. 
; 21. 
;
22. 
; 23. 
; 24. 
;
25. 
; 26. 
; 27. 
;
28. 
; 29. 
; 30. 
12-13. Производная и дифференциал. Исследование функций.
Задания для подготовки к практическому занятию
Прочитайте предложенные рассуждения и примеры, выполните задания. Прочитайте §13.10-13.12, 14 лекций. Для решения задач 24-30 (занятие 13) почитайте §15 лекций
1. Дифференциал функции
Пример. Дана функция 
. Найти ее первый дифференциал dy
Решение: Воспользуемся формулой первого дифференциала: 
.
. Таким образом, 
.
2. Производные и дифференциалы высших порядков
Пример. Дана функция 
Найти 
Решение: Воспользуемся формулой второго дифференциала: 
. Для того, чтобы найти вторую производную 
, продифференцируем данную функцию последовательно дважды:
;
.
Таким образом, 
Вопросы и задачи
п1. Найти dy, y¢¢:
а) ; б) ; в) ; г) 
; д) 
;
Задачи к практическому занятию
Найти dy, y¢¢:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6.
Найти y¢ (при помощи логарифмического дифференцирования)
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
Найти y¢x
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
Написать уравнение касательной к графику данной функции в данной точке:
18.
; 19.
20.
21. 
; 22. 
23. 
Исследовать функцию и построить график:
24.
; 25.
; 26.
; 27.
; 28.
; 29.
; 30.
14. Функции нескольких переменных
Задания для подготовки к практическому занятию
Прочитайте §16 лекций (обратите внимание на примеры!) и предложенный пример. Ответьте на вопросы и решите задачи.
Пример.
Найти область определения функции
В данном случае на область определения функции накладываются ограничения из-за того, что аргумент логарифмической функции должен быть строго положителен: . Переписав это неравенство в виде мы убеждаемся, что границей искомой области служит окружность (с центром в начале координат, радиуса 3).
Окружность разбивает плоскость хОу на две части; несложно убедиться, что неравенству отвечает внутренняя область, то есть круг с центром в начале координат радиуса 3 (без границы, т. к. неравенство строгое).
Вопросы и задачи
п1. Найти и показать на чертеже область определения функции
а) 
б) 
в) 
п2. Для данной функции найти: частные производные первого порядка; первый дифференциал; градиент; дивергенцию
а) ; б) 
Задачи к практическому занятию
Найти частные производные второго порядка для данной функции; убедиться, что 
:
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 
;
5. 
; 6. 
; 7. 
; 8. 
Исследовать функцию на экстремум:
9. 
; 10. 
;
11. 
; 12. 
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
