Логика истины (стр. 2 )

Если принимается такое определение, легко найти примеры высказываний, которые могут рассматриваться как ни истинные, ни ложные. Например: "Простые числа зеленые". Это правильно построенное предложение, таким же является и предложение "Истинно, что простые числа зеленые". Следовательно, оно выражает высказывание. Является ли это высказывание истинным? Конечно, нет. Является ли оно ложным? Можно сказать, что оно не является и ложным. Субъект и предикат несравнимы. Цвета не имеют отношения к числам. Значит, такие утверждения ни истинны, ни ложны.

Легко обнаруживаются другие, более серьезные примеры высказываний без истинностного значения. Иногда утверждается, что имена и определенные дескрипции, не имеющие денотатов — например, "Пегас" или "король Франции", — не дают истинных или ложных высказываний, если входят в утверждения в качестве субъектов. Как бы там ни было — я не собираюсь обсуждать здесь этот тезис, — такую возможность в любом случае следует принимать во внимание, а значит, следует отвести ей место в логической системе. Другими примерами являются многочисленные "метафизические" высказывания, такие, как высказывание о том, что первичной реальностью является материя, или, если взять пример из другой крайности, что быть — значит быть воспринимаемым. Трудно было бы отрицать пропозициональный статус таких утверждений, но не было бы бессмысленным считать их "вне истины и лжи".

А как же обстоит дело с нормами (предписаниями)? "Длина эталонного метра в Париже 1 м". "Вы не должны парковать автомобиль посередине дороги". Общая и, я думаю, верная точка зрения состоит в том, что наложение условий и предписания не имеют истинностных значений. Но очень часто они выражаются предложениями, префиксирование к которым слов "истинно, что..." является корректным.

6. Теперь, в достаточно общих чертах, я опишу три различные логики истины. Я обозначу их Т L, T'L и T"L соответственно.

Все три логики, как они представлены здесь в виде аксиоматических исчислений, имеют один и тот же словарь пропозициональной логики (PL), а именно: переменные, связки и скобки, а также оператор Т. Оператор читается "истинно, что...".

Правильно построенные формулы тоже одни и те же в трех логиках. Соответственно они определяются также, как правильно построенные формулы стандартной пропозициональной модальной логики, при этом оператор Т "ведет себя" как модальный оператор. Для конструирования формул из элементов словаря необходимы скобки. Я считаю, что соглашения относительно расстановки скобок при построении очевидны.

Примеры правильно построенных формул: Т~р, Т(p↔Tp), Tp→p.

Аксиомы исчисления ТL:

АО. Все тавтологии РL, когда каждому вхождению переменной в тавтологию приписан оператор T.

А1. Тр→~Т~р. "Если истинно, что р, то не истинно, что не-р. Или же, учитывая то, что ложность есть истинность отрицания (высказывания): "Если истинно, что р, то не ложно, что р".

А2. Тр↔Т~~р." Истинно, что р, если и только если ложно, что не р".

A3. Т(р&q)↔Тр&Tq. "Конъюнкция истинна, если и только если (все) конъюнкты истинны".

А4. T~(p&q)↔T~p∨T~q. "Конъюнкция ложна, если и только если (по крайней мере) один конъюнкт ложен".

А5. Тр→р. "Если истинно, что р, то р".

Правила вывода, общие для всех трех исчислений, следующие:

R1. Подстановка формул вместо переменных в аксиоме или теореме.

R2. Отделение (modus ponens).

R3. Правило Истины, согласно которому если формула f есть аксиома или теорема логики истины, то Т f тоже теорема этой же логики.

Я не буду приводить здесь полные доказательства теорем на основе аксиоматики, а только отмечу нечто из того, что можно доказать в ТL.

Оператор Т дистрибутивен не только относительно конъюнкции A3, но и относительно дизъюнкции.

С помощью А1 и дизъюнктивной дистрибутивности T-оператора можно также доказать дистрибутивность от Т(р→q) к Тр→Тq. Однако дистрибутивность в обратном порядке места не имеет.

рv~р есть Тавтология PL. Значит, по А0, Трv~Тр есть теорема ТL. Она гласит, что каждое высказывание либо является истинным, либо является ложным. Это та форма, в которой закон исключенного третьего имеет место в ТL. Данную формулу следует отличать от формулы Тр v Г~ р, которая означает, что каждое высказывание является или истинным, или ложным. Это закон бивалентности. Он не является теоремой ТL. Также не является теоремой и формула Т(рv~p), которая означает, что дизъюнкция данного высказывания и его отрицания является логически истинной. Эта форма закона исключенного третьего также не имеет места в ТL.

Здесь следует мимоходом отметить, что ни одна тавтология РL не является тавтологией ТL. Это звучит парадоксально: ни одна тавтология не является тавтологически истинной. Но в данном случае это означает, что схема предложения, такая, например, как pv~p, которая имеет форму тавтологии, является тавтологически истинной только при условии, что ее атомарные компоненты означают предложения, которые выражают истинные или ложные высказывания. Определенно это то, чему и следует быть. Если ни истинно, ни ложно то, что р, тогда также ни истинно, ни ложно и то, что рv~р.

Можно сказать, что А2 является той формой, в которой закон исключенного третьего действительно имеет место в ТL. Но Т(р↔~~р) не проходит в ТL. Также невыводима и формула Тр↔Т~Т~р, которая означает, что высказывание истинно, если и только если ложно то, что оно является ложным.

Трv~Тр эквивалентно ~(Тр&~Тр). В свою очередь А1 эквивалентна ~(Тр&Т~р). Последняя формула, согласно A3, эквивалентна ~Т(р&~р). Таким образом, в ТL ни одно высказывание не может быть сразу и истинным, и ложным и ни одно противоречие не является истинным. Это формы, в которых закон противоречия имеет место в ТL. Однако следует отметить, что, хотя противоречие никогда не является истинным, из этого не следует, что оно всегда ложно. Т~(р&~р) не является теоремой ТL.

Так как в Т L есть Трv~Тр, с помощью Правила Истины мы имеем также Т(Трv~Тр), которая по дистрибутивности превращается в ТТрvT~Тр. Это означает, что любое высказывание о том, что данное высказывание истинно, само является или истинным, или ложным. Значит, закон бивалентности имеет место для высказываний особого вида "истинно, что...", то есть вида "T––". Это важное свойство логики истины, в которой принимается АО. Интуитивную мотивировку такой особенности можно дать следующим образом.

Предположим, что истинно р. Тогда, согласно интуиции, истинно также то, чтор истинно. Предположим, что ложно р. Тогда, согласно интуиции, ложно также то, что р истинно. Предположим, наконец, что р ни истинно, ни ложно. Тогда, согласно интуиции, является ложным (утверждать), что р истинно. Значит, несмотря на то, что произвольное высказывание может быть или истинным, или ложным, или ни истинным, ни ложным, высказывание о том, что другое высказывание истинно, является всегда двузначным образом либо истинным, либо ложным.

В приведенном выше рассуждении предполагалось, что если высказывание истинно, то истинно также и то, что оно является истинным, то есть Тр→ТТр. Но это фактически одна из теорем ТL. Доказательство следующее.

Поскольку ТТрvТ~Тр и Тр→ТТрvТ~Тр — теоремы, подстановкой в А5 ~Тр вместо р получаем Т~Тр→~Тр, а затем по контрапозиции Тр→~Т~Тр. Значит, мы имеем также Тр→(ТТрvT~Тр)&~Т~Тр. Поскольку T~Тр&~Т~Тр не проходит в ТL, и так как по А1 ТТр&~Т~Тр эквивалентно ТТр, мы можем упростить доказанную формулу до Тр→ТТр.

Из А5 и Правила Истины получается Т(Тр→р). По дистрибутивности получаем ТТр→Тр. Значит, импликация имеет место в обе стороны и мы имеем эквивалентность Тр→ТТр.

Аналогично, исходя из теоремы ~Тр→ТТрvТ~Тр, можно доказать ~Тр→Т~Тр. Поскольку, согласно А5, T~Тр→~Тр, мы также имеем эквивалентность Т~Тр↔~Тр.

Из этих двух эквивалентностей и дистрибутивных свойств оператора Т легко доказать, что все формулы, в которых Т-оператор находится в области действия другого T-оператора, дедуктивно эквивалентны формуле, в которой ни один оператор не находится в области действия другого. Этим свойством Т L соответствует модальной системе S5.

Одно последнее замечание. Поскольку ~Т~р эквивалентна T~T~р, из А1 следует Тр→Т~T~р. Значит, если высказывание истинно, тогда ложно то, что оно ложно. Но обратное недоказуемо (ср. выше). Можно сказать, что в этой особенности, как и в отрицании закона бивалентности (см. выше), TL соответствует интуиционистской логике. Однако есть между ними и различия. Иногда я для удобства, игнорируя эти различия, буду говорить о ТL как о подобном интуиционистской логике варианте логики истины.