Логика истины (стр. 4 )

Аксиоматизация T'L получается, если аксиомы А0, А2, A3 и А4 остаются без изменений, А1 заменяется на

А1'. ~Тр→Т~р

и А5 заменяется на

А5'. р→Тр.

В T'L закон исключенного третьего имеет место и в слабой форме Трv~Тр (как и в ТL), и в более сильной форме закона бивалентности ТрvT~р. А это альтернативная форма аксиомы А1.

Закон двойного отрицания имеет место в форме А2 (как в ТL), и также в форме импликации T~Т~р→Тр. "Если ложно то, что высказывание является ложным, тогда оно истинно". Запомним, что в ТL имела место импликация в обратную сторону, а именно от истинности к ложной ложности (см. выше).

В T'L сильные формы закона противоречия ~(Тр&Т~р) и ~T(р&~р), которые означают, что ни одно высказывание не является одновременно истинным и ложным, и что противоречие никогда не является истинным, не являются теоремами. Другими словами, T'L обеспечивает возможность того, чтобы некоторое высказывание было одновременно истинным и ложным, а противоречие, соответственно, могло быть истинным. Два истинностных значения "истина" и "ложь" могут "частично совпадать". На этом основании я буду называть Т' L паранепротиворечивой логикой (истины).

Наличие высказывания, которое одновременно истинно и ложно в контексте доказательства, "удовлетворяющего" законам T'L, не "взрывает", или не "тривиализирует", этот контекст. Это так, поскольку формула (Tp&T~p)→q, которая имеет место в ТL, не является теоремой T'L.

10. T'L, так же как и ТL, имеет трехзначную интерпретацию. Тремя истинностными значениями теперь являются "истинно", "ложно" и "и истинно и ложно". Я буду обозначать их +, - и 1 соответственно. Формулы T'L можно проверять по истинностным таблицам, и формула, которая принимает значение "истинно" при всех распределениях значений входящих в нее переменных, будет называться Т'-тавтологией. Все формулы, которые можно доказать из аксиом T'L, есть T'-тавтологии, и все формулы, являющиеся T'-тавтологиями, можно доказать из аксиом. Значит, T'L, как и ТL, разрешима и полна.

Таблицы для ~ & и Т в Т'L можно "вывести" из таблиц для ТL, заменяя «0» на «1» и «T» на «~Т~». Таблицы имеют следующий вид:

I	II	III
p	~p	p	q	p&q	p	Tp
1	1	1	1	1	1	+
+	-	1	+	1	+	+
-	+	1	-	-	-	-
		+	1	1
		+	+	+
		+	-	-
		-	1	-
		-	+	-
		-	-	-

Таблица для отрицания показывает, что если высказывание одновременно истинно и ложно, то его отрицание тоже является истинным и ложным одновременно. Таблица для конъюнкции показывает, что конъюнкция, в которой один конъюнкт и истинный и ложный, а другой(ие) конъюнкт(ы) истинный(ые), является одновременно истинной и ложной. Точно так же обстоит дело, когда все конъюнкты имеют "двойное" истинностное значение. Кажется, это вполне соответствует "интуиции".

11. В ТL есть аксиома, которая означает, что Тр→р. В T'L есть аксиома, утверждающая обратное, р→Тр. Предположим, что они объединяются в эквивалентность Тр↔р, которая добавляется к ТL или к T'L. Легко видеть, что в качестве следствия такого соединения можно усилить аксиому TL A1, а также аксиому T'L А1' до эквивалентностей.

Тр↔р можно преобразовать в ~Тр↔~р. Подставляя ~р вместо р, получаем ~Т~р↔~~р. Снимая двойное отрицание, получаем ~Т~р↔р. И наконец, из последней формулы и р↔Тр получаем Тр↔~Т~р.

А1 также можно записать в виде ~(Тр&T~р), которая означает, что ни одно высказывание не является истинным и ложным одновременно. А1', как известно, тоже можно представить в виде ТрvT~р, которая означает, что всякое высказывание либо истинно, либо ложно. Две эти формулы вместе означают, что истина и ложь являются парой взаимоисключающих и исчерпывающих альтернатив. В ТL они являются исключающими, но не исчерпывающими, допускаются провалы в истинностных значениях. В T'L они исчерпывающие, но не исключающие, допускается частичное совпадение истинностных значений.

Если усилить до эквивалентности А5, каждая формула ТL будет дедуктивно эквивалентной (в ТL) формуле без вхождений оператора Т, т. е. формуле РL. Аналогично, если усиливается до эквивалентности А5', это означает, что А5 и А5' усиливаются до эквивалентностей, исчисления ТL и T'L "ослабляются" до обычной классической двузначной пропозициональной логики.

Эквивалентность Тр↔р хорошо известна из дискуссий о природе истины. Ее смысл часто выражается в утверждении, что фраза "истинно, что...", когда она префиксируется предложению, является "излишней" или "устранимой". Но это так только в том случае, если принимаются "законы (исключенного третьего и противоречия) классической логики. В классической логике необходимо, чтобы фраза "истинно, что..." была устранимой, и это объяснение тому, что в объектном языке классического исчисления не нужен оператор истины. Но классическое исчисление есть лишь частный, предельный случай логики истины. В других логиках истины оператор истины не устраним.

12. Предположим, что из ТL удаляются аксиомы А1 и А5 или из T'L — аксиомы А1' и А5'. Тогда получается логика истины, в которой не имеют места ни закон бивалентности ТрvТ~р, ни закон противоречия в виде ~(Тр&Т~р), ни закон двойного отрицания в виде Тр↔Т~Т~р. В такой логике не имеет места ни то, что всякое высказывание является или истинным, или ложным, ни то, что если высказывание истинно, тогда ложно то, что оно является ложным; ни то, что если ложным является то, что высказывание ложно, тогда это высказывание истинно. Эту логику я назову T"L.

T"L имеет четырехзначную интерпретацию, причем истинностными значениями являются "истинно", "ложно", "ни истинно, ни ложно" и "истинно и ложно". Обозначим их +, -, 0 и 1 соответственно. Теперь истинностные таблицы получаются путем комбинирования таблиц для ТL и T'L.

Таблица II означает, что конъюнкция двух высказываний истинна, если и только если оба высказывания являются истинными. Она ложна, если один или оба конъюнкта ложны. Ясно, что она является и истинной и ложной, если оба ее члена являются и истинными и ложными или если один из них является истинным, а второй и истинным и ложным. Если оба члена не имеют истинностных значений, то конъюнкция тоже не, имеет истинностного значения. Если один из них не имеет истинностного значения, а второй является истинным, то можно объявить конъюнкцию тоже ни истинной, ни ложной. Но в двух случаях, когда один член конъюнкции не имеет истинностного значения, а второй является и истинным и ложным, можно либо полагать, что конъюнкция ложна, либо что она не имеет истинностного значения. Обе альтернативы выглядят совместимыми с естественным смыслом союза "и". В таблице было выбрано значение 0.

I	II	III
p	~p	p	q	p&q	p	Tp
1	1	1	1	1	1	+
+	-	1	+	1	+	+
-	+	1	-	-	-	-
0	0	1	0	0	0	-
		+	1	1
		+	+	+
		+	-	-
		+	0	0
		-	1	-
		-	+	-
		-	-	-
		-	0	-
		0	1	0
		0	+	0
		0	-	0
		0	0	0

13. Исследование логики истины открывает интересные способы подхода к антиномиям. Я буду определять антиномичное высказывание следующим образом.