Логика истины (стр. 3 )

7. ТL может интерпретироваться как трехзначная логика. Тремя истинностными значениями являются "истинно", "ложно" и "ни истинно, ни ложно". Я обозначу их +, — и 0 соответственно. Какой ("истинностной") функцией входящих в нее переменных является данная формула ТL, можно исследовать и определить по трехзначной (истинностной) таблице. Если формула принимает значение + (истинно) при всех возможных распределениях истинностных значений по переменным, то будем говорить, что это истинностная тавтология, или, короче, T-тавтология.

Можно показать, что все теоремы ТL являются T-тавтологиями и, наоборот, что все T-тавтологии доказуемы в ТL из аксиом с помощью правил вывода.

Поскольку каждая правильно построенная формула ТL может быть проверена на принадлежность к теоремам, то есть тавтологичность по таблице, можно не проводить доказательства из аксиом. Можно обойтись без аксиоматики точно в таком же смысле, в каком можно обойтись без аксиоматики в классической РL. При этом в ТL, так же как и в РL, предполагается, что функции "определяются" с помощью таблиц. Можно сказать, что эти "определяющие таблицы" соответствуют аксиомам в аксиоматическом построении логики, о которой идет речь.

Необходимы три основные таблицы: для отрицания, для конъюнкции и для оператора истины. Дизъюнкция, (материальная) импликация и (материальная) эквивалентность определяются обычным способом, через отрицание и конъюнкцию.

I	II	III
p	~p	p	q	p&q	p	Tp
+	-	+	+	+	+	+
-	+	+	-	-	-	-
0	0	+	0	0	0	-
		-	+	-
		-	-	-
		-	0	-
		0	+	0
		0	-	-
		0	0	0

Можно сказать, что первая таблица определяет отрицание как операцию, которая преобразует истинное высказывание в ложное, ложное — в истинное, а высказывание, не имеющее истинностного значения, — в другое высказывание, которое тоже является ни истинным, ни ложным. Это, конечно, хорошо согласуется с "интуициями".

Вторая таблица определяет конъюнкцию как операцию, которая из множества истинных высказываний дает истинное высказывание; из высказываний, по крайней мере одно из которых ложно, дает ложное высказывание; а из высказываний, из которых одни истинны, а другие не имеют истинностного значения, дает высказывание, не имеющее истинностного значения.

И наконец, таблица для оператора истины показывает, что если высказывание истинно, то высказывание о том, что оно истинно, тоже является истинным; но если высказывание ложно или ни истинно, ни ложно, тогда высказывание о том, что оно истинно, является ложным.

Существует претендующая на (некоторую) интуитивную ясность таблица, альтернативная таблице для конъюнкции. В такой альтернативной таблице конъюнкция лишается истинностного значения, если, и только если, по крайней мере один конъюнкт не имеет истинностного значения. Принятие такой таблицы внесло бы некоторые изменения в аксиомы из аксиоматизированной Т L. A4 нужно было бы заменить на

А4'. Т~(р&q)↔Т~p&TqvTp&T~qvT~p&Т~q.

Аксиома означает, что конъюнкция ложна, если, и только если, все конъюнкты ложны или хотя бы один ложен, а остальные истинны. А5 тоже нельзя верифицировать, то есть показать, что она является тавтологической истиной, если принимается модифицированная таблица для конъюнкции. Эту аксиому следовало бы заменить более сильной:

A5'. Т(Тр→р),

которая означает, что истинно то, что если р истинно, тогда р.

Я сомневаюсь, что можно сказать, какая из двух таблиц для конъюнкции — исходная или модифицированная — лучше отвечает нашим "интуициям". Насколько я могу судить, выбор одной из них вообще не имеет важных "философских" следствий.

8. Рассмотрим процесс, такой, например, как вы падение дождя. Он продолжается некоторое время, а затем прекращается. Но предположим, что это происходит не внезапно, а постепенно. Пусть р ––––– ~р иллюстрирует, что на определенном отрезке времени вначале определенно идет дождь (р), а потом определенно не идет дождь (~р), а между двумя этими временными точками находится "переходная область", когда может падать небольшое количество капель — слишком мало для того, чтобы заставить нас сказать, что идет дождь, но слишком много для того, чтобы мы воздержались от утверждения, что дождь определенно закончился. В этой области высказывание р ни истинно, ни ложно. Можно завершить иллюстрацию следующим образом:

Тр ~Тр&~Т~р Т~р

Можно, однако, считать, что дождь еще идет до тех пор, пока падают капли дождя, а можно считать, что дождь закончился, если падают только редкие капли дождя. Когда ситуация рассматривается с таких точек зрения, промежуточная область перехода или неопределенности включается и в дождь, и в не-дождь, причем выпадение дождя отождествляется с положением, когда отсутствует невыпадение дождя, а невыпадение дождя —с положением, когда не идет дождь. Тогда вместо того, чтобы говорить, что в этой области ни идет, ни не идет дождь, следовало бы сказать, что в данной области и идет дождь, и не идет дождь.

Я полагаю, что это — нечто похожее на то, что происходит при диалектическом синтезе. Но следует заметить, что в данном случае имеет место концептуальный сдвиг в понятии истины. Смысл "истинно", в котором говорится, что ни идет дождь, ни не идет дождь, не является тем же самым смыслом, в котором говорится, что идет дождь и не идет дождь в переходной области. Можно назвать первый строгим смыслом понятия "истинно", а второй — свободным или более слабым (laxer) смыслом этого понятия.

Более слабое понятие истины я буду обозначать Т'. Оно определяется в терминах сильной истины следующим образом: „T'p"=df ~Т~р. Теперь окончательно заполняем схему процесса:

Тр ~Тр&~Т~р Т~р

Т'р Т'~р

9. Можно построить логику также и для слабого понятия истины. Я буду называть эту логику T'L.

Так как два понятия истины, более сильное и более слабое, взаимоопределимы, можно получить логику T'L из логики ТL, отметив, что понятие истины, которое фигурирует в T'L, совпадает с отрицанием ложности в ТL. То есть можно проверить, проходит ли формула в T'L; проверяя, имеет ли место в ТL формула, которая получается из данной заменой оператора Т сочетанием ~T~.

Таким образом, если в тавтологии РL переменной приписывается сочетание ~Т~, получается теорема ТL. Это значит, что А0 (из ТL) имеет место также в T'L.

Пример: рv~р является тавтологией РL. Рассмотрим теперь ~Т~рv~~Т~р. Подставим в этой формуле ~р вместо р. Согласно А0 и А2 (как аксиом ТL), она может быть упрощена до Трv~Тр. Но, как известно (см. выше), эта формула есть теорема ТL. Аналогично для всех других тавтологий РL.

А2 тоже имеет место в Т'L. Так как легко показать, что формула ~Т~р↔~Т~~~р, которая получается из А2 заменой Т на ~Т~, проходит в ТL.

Аналогичное справедливо и относительно A3 и А4. Они также имеют место в T'L. Но А1 и А5 не проходят в этой системе.

Если в А1 (из ТL) Т заменяется на ~Т~, то получается ~Т~р→~~Т~~р. Поскольку А0 и А2 имеют место в T'L, можно удалить двойное отрицание и получить ~Т~р→Тр, которая является, таким образом, истинной в T'L формулой.

Если в А5 (из ТL) подставить ~Т~ вместо Т, получается ~Т~р→р. Из этой формулы по контрапозиции получается ~р→~~Т~р. Подставляя в этой формуле ~р вместо р и сокращая двойные отрицания, получаем наконец р→Тр.