Логика истины (стр. 5 )

Высказывание р антиномично, если, и только если, при допущении, что оно или истинно, или ложно, можно доказать, что если оно истинно, то оно ложно и если оно ложно, то оно истинно. Это значит, что высказывание р антиномично, если, и только если, можно доказать формулу ТрvT~p→Тр&Т~р.

Рассмотрим теперь, как обстоит дело с этой формулой в различных "логиках".

В классической логике оператор истины является излишним. Значит, формула сводится к рv~p→р&~р. Но в классической логике общезначима формула рv~p. Значит, с помощью modus ponens выводится р&~р. В классической логике р&~р→q общезначима. Значит, вторично применяя modus ponens, получаем q, т. е. произвольное высказывание. Следовательно, если при доказательстве в системе или в другом контексте высказывания полагаются законы классической логики, появление в системе антиномичного высказывания имеет "катастрофическое" последствие "тривиализации" системы — в ней тогда можно доказать все, что угодно.

В TL не имеет места закон бивалентности ТрvТ~р. По А1 (и А2), конъюнкция Тр&Т~р дает конъюнкцию ~Тр&~Т~р. Значит, по транзитивности мы имеем ТрvТ~р→~Тр&~Т~р. Консеквент этой импликации является отрицанием ее антецедента. Следовательно, согласно принципу, который схоласты называли consequentia mirabilis, импликация эквивалентна ее консеквенту. Тогда мы имеем ~Тр&~Т~р. Значит, если доказательство в системе подчиняется законам TL, то появление в системе антиномичного высказывания означает, что это высказывание не имеет истинностного значения, является ни истинным, ни ложным. Поскольку закон Д. Скотта не имеет места в TL, это не приводит к "тривиализации" или другим "катастрофическим" последствиям.

В T'L закон бивалентности имеет место. Значит, если антиномичное высказывание появляется в системе, которая подчиняется законам T'L, правомерно заключить, что это высказывание является и истинным и ложным, Тр&Т~р. Но закон Д. Скотта не имеет места в T'L в виде Tp&T~p→q. Следовательно, существование в этой системе антиномичного высказывания, т. е. высказывания, которое и истинно и ложно, не приводит к катастрофическим последствиям.

И наконец, из появления антиномичного высказывания в системе, которая подчиняется законам T"'L, нельзя заключить ни что это высказывание и истинно и ложно, ни что оно не является ни истинным, ни ложным. Высказывание вообще не имеет никакого отношения к истинностным значениям. О нем можно сказать лишь то, что если оно или истинно, или ложно, то оно и истинно и ложно. Нельзя, как в T'L, заключить, что оно должно быть и истинным и ложным, так как в T"L не имеет места закон бивалентности. Но нельзя так же, как в TL, заключить, что оно ни истинно, ни ложно, поскольку два истинностных значения не являются, как в TL, исключающими. И поскольку закон Д. Скотта тоже не проходит в T"L, антиномичное высказывание не имеет тривиализирующик последствий.

Приведенные рассуждения предназначались для того, чтобы показать, что наличие антиномии является "катастрофой" только в контексте рассуждений, протекающих согласно принципам (законам) классической логики. Из этого можно сделать или одно, или два заключения. Одно состоит в том, что существует некий связанный с антиномиями логический закон, согласно которому антиномичные высказывания не являются "логически допустимыми" конструкциями. Второе состоит в том, что классическая логика не пригодна для работы с антиномиями. Традиционный "выход" заключался в том, чтобы принять первое заключение. Тогда мы сталкиваемся с задачей показать, что "плохо" в антиномиях. Одним из способов это сделать было создание теории типов Б. Рассела. Существует также много различных других предложений. Однако ни одно из них не казалось полностью удовлетворительным, свободным от произвольности. Значит, второй, упомянутый выше "выход" может быть предпочтительнее, т. е. искать логику, которая может справиться с антиномиями, не вызывая катастрофических последствий для доказательств. Для этого есть разные способы. Один предлагается TL. В контексте рассуждений, протекающих согласно принципам TL, наличие антиномичного высказывания не приводит к тривиали-зирующим последствиям, а самим высказыванием можно пренебречь как не имеющим истинностного значения. Другую возможность представляет T'L. Она позволяет "принять" оба противоречащих высказывания без катастрофы.

То, что классическая логика не может принять антиномии, не налагая ограничений на формирование высказываний, вовсе не означает, что такая логика "неправильная". А то, что в неклассических логиках такое возможно, не означает, что они "правильные". Вопрос о том, какой способ принятия антиномий является наилучшим, не является вопросом, на который можно ответить внутри логики.

14. До сих пор упоминавшиеся логики и наброски систем не исчерпывают множества логик истины.

Предположим, что отбрасывается А1 и А5 заменяется на эквивалентность р↔Т~р. Тогда получается логика, которая, подобно классической, является двузначной, но в которой истинностные значения есть не "истинно" и "ложно", а "и истинно и ложно" и "ни истинно, ни ложно". Тогда высказывания, удовлетворяющие этой логике, или не имели бы истинностного значения, или, имея одно из них, имели бы и второе.

Бессмысленно ли это? Я так не думаю. Если "истинно" строго означает "истинно с некоторой точки зрения", тогда эта логика, по существу, "утверждает", что если высказывание истинно с одной точки зрения, то оно ложно с другой точки зрения. Не может ли это быть справедливым по крайней мере для большого числа (обширного класса) высказываний?

Отбрасывание А2 и замена А5 любой конъюнкцией двух импликаций из числа следующих четырех: р→Тр, Тp→р, р→Т~р, T~р→р, дает двузначную логику. Вообще существует шесть таких "логик". Кроме уже упомянутых двух, есть логики, в которых всякое высказывание (в пределах данной логики) и истинно и ложно или только истинно; и истинно и ложно или только ложно; истинно или ни истинно, ни ложно; ложно или ни истинно, ни ложно.

Если принимается в качестве аксиомы только одна из четырех импликаций, получается трехзначная логика истины. Таких логик вообще четыре. Две из них уже известны, а именно: TL, в которой принимается импликация Тр→р, и T'L, в которой принимается импликация, обратная этой. Две другие логики таковы, что в одной из них данное высказывание или истинно и ложно, или только истинно, или не имеет истинностного значения, а в другой — и истинно и ложно, или только ложно, или не имеет истинностного значения.

Также есть четыре способа конъюнктивного соединения трех из четырех вышеуказанных импликаций. Эти комбинации дают однозначную логику, в которой все базовые высказывания либо и истинны и ложны, либо только истинны, либо только ложны, либо ни истинны, ни ложны соответственно.

Если не принимается ни одна из импликаций, то получается четырехзначная логика T"L. И наконец, если принимаются все четыре импликации, получается 0-значная логика. Опуская этот последний "эксцентрический" способ рассмотрения, получаем всего 15 различных логик истины, которые я предполагаю назвать первым порядком; одна четырехзначная, четыре трехзначных, шесть двузначных и четыре однозначных логики. Я не хотел бы экспромтом отвергать какую-либо из этих "логик" как бессмысленную или бесполезную, хотя я не мог представить себе какое-нибудь значимое применение четырех однозначных логик.

15. Общим свойством всех логик истины, которые были исследованы выше, является то, что высказывания об истинности других высказываний, то есть высказывания вида "Т—", бивалентны, или истинны, или ложны. Более того, логикой таких высказываний является классическая логика.

Это означает, например, что хотя формула ТрvТ~р не является в TL истинностной тавтологией, формула ТТрvТ~Тр таковой является. Более того, последняя формула доказуема в TL.

Одним из поводов для построения допускающей провалы в истинностных значениях логики является следующий. Общее положение дел, такое, как, например, выпадение дождя, может быть таким, что может не оказаться под рукой критерия для того, чтобы в любом случае сказать, имеет оно место или нет в пространстве и времени. Значит, случаи, которые встречаются в данной пространственно-временной области (измерении) , можно разделить на такие, в которых истинно, что положение дел, о котором идет речь, имеет место, в которых ни истинно, ни ложно, что оно имеет место, и в которых ложно, что оно имеет место. Но что говорит о том, к какой из этих трех категорий принадлежит (в определенной области) данное событие? В TL считается само собой разумеющимся, что оно принадлежит к одной, и только одной из них. Но не может ли быть "провалов" между какими-то двумя из этих трех категорий, точно так же, как есть провал между четкими случаями, когда данное положение имеет место, и четкими случаями, когда оно не имеет места? Не может ли быть, например, таких частных случаев погоды, что нельзя сказать на основании подходящего критерия, идет в конкретном месте и времени дождь или скорее ни идет дождь, ни нет дождя? Я не думаю, что такую возможность можно отбросить как "бессмысленную". Если она принимается, то вместо троичного имеется пятеричное деление логического универсума. Для любого высказывания р есть четыре исчерпывающие и взаимоисключающее возможности: ТТр, ТТ~р, Т~Тр&Т~Т~р, ~ТТр&~ТТ~р&(T~Тр&Т~Т~р). Однако последнюю можно расщепить на две, также взаимоисключающие, возможности: ~ТТр&~ТТ~р&~Т~Тр и ~ТТр&~ТТ~р&~Т~Т~р.