Логика истины (стр. 6 )

В TL опровержима формула ~ТТр &~ТТ~р&~(T~Tр&T~T~р). Следовательно, логика, которая допускает такую возможность, должна отличаться от TL по крайней мере теми свойствами, которые позволяют опровергнуть в TL эту формулу. Очевидно, что эти свойства связаны со сводимостью итерированных вхождений оператора истины к неитерированым превопорядковым вхождениям. Способ предотвратить эту сводимость (между рассматриваемыми здесь уровнями) заключается в следующем. Аксиома А0 заменяется такой аксиомой:

В0. Любая формула, которая получается из аксиомы или теоремы префиксированием Т каждому вхождению переменной, есть истинностная тавтология.

Система, логические истины, формулы которой можно получить из тавтологий TL с помощью В0, есть подсистема TL. Всякая истинностная тавтология подсистемы является таковой и в TL, но не наоборот. Я буду называть новую систему логикой истины второго порядка.

В любой логике истины первого порядка можно выделить такую систему второго порядка. Истинные формулы подсистемы получаются из истинных формул системы простой операцией префиксирования буквы Т всем переменным.

16. В чем значение и цель исчислений, которые я назвал логикой(ами) истины? Ответить на вопрос — значит попытаться сказать нечто о природе логики.

Логика имеет дело с рассуждениями. Изучать логику — логику как "науку" — означает пытаться систематизировать принципы, применяемые в правильных или здравых рассуждениях. Это, как мне представляется, описательная, а не нормативная задача.

Рассуждения имеют место в большом числе различных контекстов: в повседневной жизни, в математике и науке, в судах и, между прочим, в логике тоже. Нельзя считать само собой разумеющимся, что принципы, согласно которым протекают верные рассуждения, одни и те же во всех контекстах (видах контекстов). "Законы логики" не обязательно истинны semper et ubique*.

Большинство рассуждений ведется с помощью высказываний или, что, на мой взгляд, одно и то же, предложений, которые выражают высказывания. Однако применяемые в рассуждениях предложения вообще не имеют вид "истинно, что...", а являются предложениями, лишенными этой преамбулы. Только изредка такие обороты, как "истинно, что — " или "поскольку ложно, что —", явным образом входят в рассуждения (вне собственно логики истины).

Однако всякое доказательство с помощью высказываний неявно связано с истиной. Одна из самых основных идей, связанных с логикой, состоит в том, что верное логическое рассуждение есть сохраняющее истинность развитие мысли. Например, когда утверждается, если А, то В, утверждается, что если истинно А, то В тоже истинно. И когда от этого мы по контрапозиции переключаемся на утверждение, что если не-В, тогда и не-A, это имеет такой смысл, что если бы было ложным В, то А тоже было бы ложным.

Но является ли последний шаг удовлетворительным? В классической логике это так. Классическая логика не различает отрицание истины и истину отрицания, ~T и T~. То и другое означает ложь. Однако в интуиционистской логике и в TL это не так. В TL "не является истинным, что ..." и "истинно, что не..." отличаются и можно первое выводить из второго, но не наоборот. Такое же различие имеет место в паранепротиворечивой логике типа T'L, но разрешается только вывод в обратном направлении, а именно "ложно, что..." из "не истинно, что...", причем остается открытой возможность, чтобы нечто ложное также было истинным.

Можно спросить: какая логика истины является истинной? Вопрос просто не имеет смысла. Но можно спросить: согласно какой логике протекает рассуждение в действительности? И поскольку этот вопрос не всегда имеет однозначный ответ, можно спросить также, какая логика истины лучше всего подходит для рассуждений в данном контексте. На этот вопрос нельзя ответить в логике, а нужно отвечать, как говорится, на основании контекстов. Например, нельзя считать само собой разумеющимся, что математика во всех своих направлениях следует моделям классической логики. Брауэр представил веские доводы против применения в математике классической логики и в пользу применения логики иного типа. Лежало ли то, что он предполагал сделать, больше в русле того, что позже стало известным как "интуиционистская логика", или в русле логики TL, является для меня чем-то вроде открытого вопроса. Как бы там ни было, мне кажется очевидным, что для рассуждений с пустыми понятиями логика типа TL, допускающая провалы в истинностных значениях, подходит больше, нежели классическая логика, которая этого не допускает. А для рассуждений о процессах и потоке изменяющегося мира может быть более похвальным применение логики паранепротиворечивого типа.

Есть еще и другие возможности. Но, по-видимому, интересно отметить, что если не все, то достаточно многие из них можно систематизировать в общей теории того, что я здесь назвал логикой(ами) истины. В этом отношении логика истины представляет унификацию логического мышления не в смысле некой "истинной" логики, а в смысле множества родственных альтернатив.

* Здесь и дальше термин "proposition" переводится как "высказывание". Это вполне правомерно, так как рассматривается "высказывательная", а не "событийная" интерпретация логики.— Прим. ред.

[1] W h i t e h e a d А. N.. RussllB. Principia Mathematica, 2nd ed., vol. I, p. 101 and 111.

[2] Lukasiewicz J. О Determinizmie.—In: Z zgadnien logiki i filozofii, J. Slupecki. Warszawa, 1961, Sect. 9.

[3] Ibid., Sect. 11.

[4] С о s t а N. С. A., W о 1 f R. G. Studies in Paraconsistent Logic I: The Dialectical Principle of the Unity of Opposities.—Philo-sophia, 1980, N 9.

* Совпадение противоположного (дат.).

[5] Ср.: The essay "Demystifying.—In Philosophical Papers, Vol. Ill, Truth, Knowledge and Modality (Basil Blackwell. Oxford, 1984).

* Раз и навсегда (лат.).