Логика истины (стр. 1 )

ЛОГИКА ИСТИНЫ

1. Тремя фундаментальными законами или принципами классической логики являются закон исключенного третьего, закон (не) противоречия и закон двойного отрицания. По традиции, существуют различные способы — не обязательно все из них эквивалентны — формулировки этих законов. Один из способов следующий.

"Всякое высказывание либо истинно, либо ложно" — для закона исключенного третьего*. "Ни одно высказывание не является одновременно истинным и ложным" — для закона противоречия. И "высказывание истинно, если, и только если, ложно то, что оно является ложным", — для закона двойного отрицания.

В объектном языке классического исчисления законы иногда выражаются следующим образом: p∨~p, ~(p&~p), p↔~~р. Так, например, авторы Principia Mathematica много говорят[1] о том, что первая из трех формул есть закон исключенного третьего, а вторая — закон противоречия. Однако это довольно небрежный вид выражения. Здесь имеется в виду то, что формулы (высказывания, выраженные формулами) истинны для всех примеров подстановки переменной. Значит, первая формула, соответствующая закону исключенного третьего, будет означать, что дизъюнкция любого высказывания с его отрицанием логически или необходимо истинна; а вторая, соответствующая закону противоречия, — что конъюнкция любого высказывания с его отрицанием логически или необходимо не истинна. Можно также сказать, что любое данное высказывание и его отрицание образуют пару исчерпывающих и взаимоисключающих альтернатив.

2. Хотя можно сказать, что все три закона "ортодоксальны" и имеют "общепризнанный" статус в логике, они тоже оспаривались. Как свидетельствует знаменитая девятая глава "Об истолковании", Аристотель, традиционно считающийся открывателем первых двух законов, по-видимому, испытывал трудности, в частности, с законом исключенного третьего. Аналогичные трудности чувствовали и обсуждали логики средневековья.

В новое время закон исключенного третьего был объектом критики с различных сторон. Лукасевич отвергал его в формулировке "каждое высказывание либо истинно, либо ложно", каковую он отличал от формулировки, согласно которой дизъюнкция любого высказывания и его отрицания необходимо истинна[2]. Для первой формулировки он ввел полезное название "принцип бивалентности"[3]. Критика Лукасевича была начальной точкой развития так называемых многозначных или поливалентных логик.

Другая последовательная критика закона исключенного третьего берет начало от Брауэра. Одной целью брауэровской критики было использование доказательства от противного в математике. Следовательно, его критицизм затрагивает также и закон двойного отрицания. Опровержение антитезиса не всегда есть доказательство тезиса. Отрицание отрицания не совпадает с утверждением.

Критика Брауэра также стала исходной точкой новых направлений в формальной логике. В интуиционистской логике ни p∨~p, ни p↔~~р не являются приемлемыми формулами. Это иногда выражается утверждением, что интуиционистское отрицание отличается от классического.

3. Закон противоречия, более чем два других закона, был устойчив относительно сомнений и критики в пределах того, что можно назвать классической традицией. Но некоторые особенности противоречий были замечены и настораживали логиков.

Одна такая особенность известна как закон или принцип Дунса Скотта, великого средневекового логика, doctor subtilis схоластики, который, по-видимому, был первым, кто обратил на эту особенность внимание. Этот принцип иногда отождествляется в объектном языке исчисления с формулой ~р→(р→q) или — в классическом исчислении — с эквивалентной формулой р&~р→q. Первая из них иногда, довольно неподходящим образом, читается"из ложного высказывания следует любое высказывание", а вторая, тоже не очень подходящим образом, — "из противоречия следует любое высказывание". Более серьезная интерпретация формул такова.

Если высказывание и его отрицание выводимы в дедуктивной системе, то можно, используя приведенные выше формулы в качестве законов вывода или следования, получить в такой системе по modus ponens вообще любое высказывание (которое можно выразить в языке этой системы). Появление противоречия в системе является "катастрофой", так как "подрывает" систему и, следовательно, делает ее тривиальной. Эти утверждения являются основой для хорошо известного определения непротиворечивой логико-дедуктивной системы или исчисления как системы, в которой не выводимо какое угодно высказывание.

Однако принцип Дунса Скотта тоже внушал тревогу логикам. Идея о том, что противоречие "влечет" вообще любое высказывание, может оказаться контринтуитивной. Оказывается, что следование, или логическое следствие, предполагает некоторый вид "общности содержания" между высказыванием, из которого следует другое, и тем, которое следует из первого. Побуждающей силой так называемой релевантной логики является стремление обойти контринтуитивные следствия закона Дунса Скотта.

Если этот принцип не принимается в качестве логического закона следования, то появление противоречия в системе не обязательно ее "подрывает" и нет нужды считать его катастрофой. Такое отношение к противоречиям лежит в основе другого современного направления в формальной логике, известного как паранепротиворечивая логика. В нем исследование логики в русле того, что можно с некоторой оговоркой все же назвать "классической традицией", становится близким к другой хорошо известной традиции, а именно гегелевской, или диалектической, логике[4].

В диалектической логике есть операция, называемая диалектическим синтезом. Он дает то, что называется единством противоположностей (coincidentia орpositorum*). В общих чертах он может быть описан следующим образом.

Выдвигается тезис, назовем его θ. Он имеет антитезис, который является его отрицанием ~θ. Значит, показано, тем или иным способом, что тезис не является истинным. Тогда имеется ~Тθ, где "Т" означает "истинно, что". Показано также, что антитезис не является истинным ~Т~θ. Значит, ни тезис, ни антитезис не являются истинными. Из этого делается вывод, что и тезис, и антитезис являются истинными, Тθ&Т~θ. Это называется диалектическим синтезом. Иллюстрация: стрела в антиномии Зенона ни движется, ни неподвижна в данной точке ее траектории. Следовательно, она и движется, и покоится.

4. Теперь я ставлю перед собой следующую задачу. С минимальным отклонением от классических образцов логики я сделаю краткий очерк систематического множества логических исчислений или систем, которые я предполагаю назвать "логика (и) истины". Надеюсь, что с их помощью я смогу воздать должное некоторым критическим утверждениям, выдвинутым против трех упомянутых законов. Я также дам некоторые комментарии заключения, которое я называл диалектическим синтезом, и антиномий логики.

Единственной "неортодоксальной" особенностью конструкции логики истины является то, что она вводит понятие истины в объектный язык. Это делается с помощью символа Т (ср. выше), который похож на модальный оператор в том, что если данный символ префиксируется представляющим предложения схемам, то получаются новые схемы предложений. Он читается "истинно, что...".

С помощью символа Т можно выделить два различных способа отрицания предложения: внешнее отрицание ~Т следует читать "не является истинным, что..." и внутреннее отрицание Т~ следует читать "истинно, что не...". Внутреннее отрицание я буду называть также ложностью. Мне кажется естественным говорить, что под ложностью высказывания понимается истинность его отрицания (противоречия).

В логике истины, таким образом, ложность отличается от не-истинности. В исчислении TL, которое я опишу первым, не-истинность слабее ложности. (Но в других логиках истины имеет место обратное.) Значит, в TL ложное высказывание не является истинным, но не всякое не истинное высказывание является также и ложным. Другими словами, это исчисление открывает возможность того, чтобы некоторые высказывания, которые не являются истинными, не являлись и ложными. Они, как говорится, не имеют истинностного значения, являются ни истинными, ни ложными. Можно сказать, что самой "сутью" этой особой логики истины является обеспечение указанной возможности.

5. Но не все ли высказывания, по определению, истинны или ложны? Об этом уже было сказано. Ответ зависит от того, как понимаются высказывания. Необходимо сказать еще несколько слов об этом заведомо трудном понятии[5].

Базовым понятием будет понятие грамматически правильно построенного предложения. Я не буду пытаться его определить или уточнить как-либо иначе. И я буду говорить, что грамматически правильно построенное предложение выражает высказывание, если и только если предложение, полученное из него префиксированием слов "истинно, что", тоже является правильно построенным. Например, предложение "Идет дождь" является правильно построенным. "Истинно, что идет дождь" также является правильно построенным. Следовательно, предложение "Идет дождь" выражает высказывание. "Открой окно!" — правильно построенное предложение. "Истинно, что открой окно"

не является правильно построенным. Следовательно, предложение "Открой окно!" не выражает высказывания.