Исследование операций на транспорте (стр. 2 )

, (4)

, , q=ρ/n.

,

Абсолютная пропускная способность и интенсивность потока заявок, получивших отказ равны

A=lPобсл, Aотк=lPотк. (5)

Характеристики загрузки каналов обслуживания – среднее число Кзагр занятых каналов и простаивающих аппаратов Кпрост определяются по формулам

(6)

Характеристики загрузки накопителя - вероятность того, что накопитель простаивает свободным Рнп, среднее число занятых Кзагр. н и свободных Кпрост. н мест накопителя вычисляются так:

(7)

С помощью приведенных формул определяются экономические показатели СМО - математические ожидания прибыли П, дохода Д и затрат З за принятое расчетное время Т=n мес - месяцев:

(8)

где Скл ($/клиент) - средний доход, приносимый одним клиентом за обслуживание, Амес[1/мес] интенсивность потока клиентов за месяц, Соа - затраты на содержание в течение месяца одного канала обслуживания, Сн - затраты на содержание в течение месяца одного места в накопителе, Со- постоянная часть затрат, не зависящая от числа каналов и емкости накопителя.

Модель (8) при условии С=О предполагает, что затраты не зависят от того загружены ли ОА или простаивают, свободен накопитель или нет. В том случае, если часть затрат определяется фактическим (случайным) числом занятых ОА или мест в накопителе, то вводятся дополнительные слагаемые

(9)

В формулах (9) величины Сi учитывают возрастание затрат за счет дополнительных факторов; к - число факторов; Сзагр, Сзагр. н - дополнительные затраты за счет фактической загрузки каналов обслуживания и мест накопителя.

Если компания, заинтересованная в притоке клиентов, предложит, например, компенсацию Скомп за каждый отказ в обслуживании, то появляется дополнительное слагаемое

. (10)

Формулы (1)-(10) позволяют определить оптимальные параметры СМО - число каналов обслуживания и мест в накопителе.

3. ОБЩАЯ СХЕМА МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ ОБСЛУЖИВАНИЯ

Если в описании входного потока заявок, характеристик обслуживания или СМО в целом имеются особенности, не позволяющие использовать аналитические методы, применяется метод имитационного моделирования, ставший в настоящее время основным методом исследования сложных технических систем различного назначения.

Суть метода заключается в построении для конкретной рассматриваемой системы ее модели (так называемой имитационной модели), описывающей по возможности детально процесс ее работы (функционирование). При этом описываются: структура системы; ее элементы; связи между элементами; входные возмущения и механизм их воздействия на элементы системы. Задаются критерии эффективности.

Под системой в зависимости от конкретной задачи понимается транспортное средство (например, воздушное или морское судно, автомобиль или др.), транспортный технологический процесс (например, как в заданиях на курсовые работы - процесс разгрузки судна в морском порту, продажи билетов в кассе аэро - или железнодорожного вокзала и др.), транспортная коммуникация (автодорожная или речная магистраль).

Моделью входного воздействия является многомерная случайная величина или их последовательность - случайный поток (случайный процесс).

Имитационная модель связывает входные воздействия x с выходной величиной:

y=L(x).

Величина L (.) называется оператором системы. Само по себе определение оператора представляет трудную задачу. Как правило, оператор задается алгоритмически, т. е. в виде строго формализованных и описанных на математическом языке последовательности операций, которые в конечном итоге определяют форму связи входных и выходных величин.

Пример имитационной модели и способа задания оператора L (.) рассматривается в последующих разделах.

Общая схема анализа системы методом имитационного моделирования заключается в следующем:

1)разыгрываются N независимых реализаций xi=0 входного возмущения, i=1,2,...,N;

2)моделируется система, вычисляются значения yi=L(xi) ?ыходных величин и функции (yi);

3)по выборке (yi),…,(yN) производится оценка показателя эффективности системы.

Для критерия (1) используется среднеарифметическая оценка

. (11)

Фундаментальные теоремы теории вероятностей, объединенные общим названием закона больших чисел, гарантируют сходимость оценки (11) к истинному значению критерия (1).

4. ПРИМЕР. МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ОБСЛУЖИВАНИЯ ПОТОКА АВТОМОБИЛЕЙ НА АВТОЗАПРАВОЧНОИ СТАНЦИИ (АЗС)

В качестве примера рассмотрим модель работы АЗС, имеющей n заправочных колонок. Для описания оператора системы необходимо задать алгоритм работы каждой бензоколонки, дисциплину обслуживания, описать входной поток (моменты появления) автомобилей, процесс отказов в обслуживании. Описание каждого из этих компонентов оператора (модели) АЗС может быть очень сложным и представляет самостоятельную задачу. Мы рассмотрим лишь простейшие модели.

Модель входного потока автомобилей.

Примем простейшую модель потока с интенсивностью

l (1/мин) автомобилей в минуту. Как на ЭВМ получаются реализации входного потока мы рассматривали в [1,2].

Модель обслуживания клиента бензоколонкой(БК).

Нам необходимо описать всю последовательность действий водителя и оператора БК по заправке автомобиля: водитель подъехал к БК, расплатился за заправку, подождал заправки и т. д. Но мы ограничимся описанием всего процесса заправки лишь одной величиной g - длительностью заправки. Примем, что g - случайная величина, имеющая закон распределения Эрланга (см.[1]) с параметрами k, b и средним значением g=k/b времени заправки.

Все n колонок полностью идентичны, поэтому величины k и b полностью описывают процесс заправки.

Модель дисциплины обслуживания.

Примем, что автомобили обслуживаются на АЗС в порядке поступления. Поступившая заявка обслуживается первой освободившейся колонкой. Все каналы равноправны. В случае простоя нескольких БК появившийся автомобиль направляется к БК, которая освободилась ранее других.

Модели отказов в обслуживании.

Примем, что поступившая заявка дожидается в очереди обслуживания. Отказов не происходит.

В заданиях на КУР предусмотрены различные модели отказов, например, отказ по времени (ресурсу) ожидания в очереди. В заданиях этого типа предполагается, что водитель ( при наличии очереди) обладает некоторым ресурсом ожидания, по истечении которого он обязан покинуть очередь. Величина ресурса случайна. Ее закон распределения может быть определен путем опроса водителей, покинувших очередь, и обработкой статистических данных о времени ожидания.

Модель доходов.

Мы примем, что доход АЗС формируется в виде процента от проданного количества бензина:

D=C·V,

где С-[$/литр] - доход АЗС с одного литра горючего, V – количество бензина заправляемого в машину. Величина V может рассматриваться как случайная. В зависимости от марки автомобиля, от возможностей или желания клиента эта величина варьируется. Ее закон распределения определяется с помощью гистограммы путем обработки статистики заправки на БК. Примем, что величина V имеет нормальный закон с параметрами m - математическое ожидание, s - среднеквадратическое отклонение.

Имитационная модель должна проиграть на ЭВМ количество заправившихся машин, просуммировать общее количество потребленного в течении промежутка [0,T] времени бензина и просчитать доходы, собрать и обработать статистику по времени ожидания и длине очереди.

Постановка задач исследования.

Владельцу АЗС или менеджеру, как лицам, заинтересованным в максимальной эффективности работы, представляется важным получить количественные оценки ее характеристик. Их интересуют следующие вопросы:

·  каков доход АЗС в течение, например, Т=8 часов ее работы (среднее значение, среднеквадратическое отклонение, максимальная и минимальная) величин;

·  какую часть доходов компания теряет за счет отказа в обслуживании;

·  какова средняя загрузка БК, длины очередей, загруженность подъездных путей;

·  каковы значения других показателей, приведенных в п.1.

Предположим, что ожидаются изменения входного потока ( в результате спада производства или, наоборот, экономического оживления). Прогнозируется увеличение ( или уменьшение) интенсивности в 3-5 раз от номинальных значений.

Справляется ли АЗС с увеличенными потоками?

Каково возможное увеличение (потери) дохода?

Имеет ли смысл ставить дополнительные БК?

На все эти вопросы должен быть получен ответ в результате

моделирования.

5. АЛГОРИТМ МОДЕЛИРОВАНИЯ АЗС

Для моделирования случайных воздействий на АЗС используются подпрограммы: датчик равномерного закона на промежутке [0,1], нормального закона, распределение Эрланга. Нормальный закон моделирует потребляемое одним автомобилем количество бензина. Распределение Эрланга описывает поток автомобилей, время заправки, а также располагаемое водителем время ожидания в очереди.

На рис.1 представлена блок-схема программы моделирования АЗС, позволяющая рассчитывать статистические характеристики дохода и очереди за N дней работы.

В блоке 1 вводятся исходные данные задачи - параметры входного потока, времени обслуживания, ресурса ожидания, расчетное время работы АЗС Т=8 час (для одной смены) или Т=24 час, число N смен в течении которых собирается статистика, С – получаемый доход с одного литра проданного бензина, dt-шаг дискретизации, n-число БК, параметры m, s.