Экономико-математические методы и модели (стр. 2 )

б) Приведем задачу к каноническому виду. Для этого в левую часть первого неравенства вводим дополнительную переменную с коэффициентом +1. В целевую функцию переменная входит с коэффициентом 0 (т. е. не входит). Получаем

Преобразованную систему уравнений запишем в векторной форме:

,

где ; ; ; ; ; ; .

Поскольку среди векторов P1, P2, P3, P4, P5, P6 имеются три единичных вектора, для данной задачи можно непосредственно записать опорный план. Таковым является с единичным базисом .

Составим симплексную таблицу для I итерации:

Б			9	5	4	3	2	0
	0	6	1	-2	2	0	0	1	6	3
	3	24	1	2	1	1	0	0	24	24
	2	30	2	1	-4	0	1	0	15	-
	F0=132	-2	3	-9	0	0	0

Вычислим оценки разложений векторов по базису опорного решения по формуле , где zj находится как скалярное произведение вектора Pj (j=1,m) на вектор Сб=(с1, с2, ...,сm):

Оценки векторов, входящих в базис, всегда равны нулю.

Значение F0 равно скалярному произведению вектора P0 на вектор Сб : F0=6*0+24*3+30*2=132.

Начальное опорное решение не является оптимальным, так как оценки меньше нуля. Для оптимальности опорного решения в задаче на максимум требуется неотрицательность оценок для всех векторов условий. Чтобы перейти к новому опорному решению в базис можно ввести любой из векторов P1 и P3. Для определения вектора, подлежащего выводу из базиса, находят для всех aij>0. Для вектора P1 получим , для вектора P3 получим (в таблице записаны в двух последних столбцах).

Определим, введение какого из двух векторов приведет к большему приращению целевой функции. Приращения целевой функции найдем по формуле : , . Следовательно, для наиболее быстрого нахождения оптимального решения необходимо ввести в базис опорного решения вектор вместо вектора , так как минимум параметра достигается в первой строке.

Далее выполним преобразование Жордана с элементом =2: 1) разделим всю 1-ю строку на 2 (на месте элемента получим 1) и запишем её в новую симплексную таблицу; 2) остальные элементы столбца нужно занулить, для этого полученную 1-ю строку сначала умножим на -1 и сложим со второй, результат запишем во вторую строку новой симплексной таблицы, а затем на 4 и сложим с третьей строкой, результат запишем в третью строку новой симплексной таблицы.

Получим симплексную таблицу для II итерации.

Б			9	5	4	3	2	0
	4	3	1/2	-1	1	0	0	1/2	-
	3	21	1/2	3	0	1	0	-1/2	7
	2	42	4	-3	0	0	1	2	-
	159	5/2	-6	0	0	0	9/2

Получаем второе опорное решение с базисом . Это решение не является оптимальным, так как вектор имеет отрицательную оценку . Для улучшения решения необходимо ввести вектор в базис опорного решения.

Определим номер вектора, выводимого из базиса. Для этого вычислим параметр для второго столбца, он равен 7. Следовательно, из базиса выводим вектор . Выполним преобразование Жордана с элементом =3: