Экономико-математические методы и модели (стр. 1 )

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

чИТИНСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

бАЙКАЛЬСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ЭКОНОМИКИ И ПРАВА

эКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

Методические указания и задания к контрольной работе

для студентов 4-го курса заочного отделения специальностей «Коммерческая деятельность» и «Экономическая теория»

Чита, 2014 г.

Печатается по решению учебно-методической комиссии ЧИ БГУЭП

Протокол № ______ от __ ________ 2004г.

Составители: преподаватели кафедры математики ,

Рекомендовано к печати кафедрой математики

Протокол заседания № __ от___________ 2004г.

Программа курса

1.  Общая постановка задачи линейного программирования. Экономико-математическая модель.

2.  Элементы линейной алгебры и геометрии выпуклых множеств. Система m линейных уравнений с n переменными. Выпуклые множества точек. Геометрический смысл решения неравенств, уравнений и их систем.

3.  Геометрический метод решения задач линейного программирования.

4.  Симплексный метод. Геометрическая интерпретация симплексного метода. Отыскание максимума линейной функции. Определение первоначального допустимого базисного решения. Переход от одного опорного решения к другому. Симплексные таблицы.

5.  Двойственные задачи. Экономическая интерпретация двойственной задачи. Взаимно двойственные задачи линейного программирования и их свойства. Первая теорема двойственности. Вторая теорема двойственности.

6.  Транспортная задача. Экономико-математическая модель транспортной задачи. Нахождение первоначального базисного распределения поставок. Критерий оптимальности базисного распределения поставок. Решение транспортной задачи методом потенциалов.

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

При выполнении и оформлении контрольной работы необходимо руководствоваться следующим:

1.  Контрольная работа должна быть выполнена по соответствующему варианту. Номер варианта соответствует последней цифре номера зачетной книжки.

2.  Условия задачи должны быть переписаны в контрольную работу. После условия каждой задачи следует ее решение. Ко всем этапам решения задач необходимо дать развернутые описательные пояснения.

3.  В конце работы следует указать литературу, использованную при ее выполнении, а также при изучении учебного материала.

Графический метод решения Задачи линейного программирования

Графический метод решения ЗЛП состоит из следующих этапов.

1.  Строится область допустимых решений (ОДР) ЗЛП.

2.  Строится вектор-градиент целевой функции в какой-нибудь точке Х0, принадлежащей ОДР – .

3.  Линия уровня C1x1+C2x2 = а (а – постоянная величина) - прямая, перпендикулярная вектору–градиенту – передвигается в направлении этого вектора в случае максимизации f(x1,x2) до тех пор, пока не покинет пределов ОДР. Предельная точка (или точки) области при этом движении и является точкой максимума f(x1,x2).

4.  Для нахождения ее координат достаточно решить систему из двух уравнений прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пересечении точку максимума. Значение f(x1,x2), найденное в полученной точке, является максимальным.

При минимизации f(x1,x2) линия уровня перемещается в направлении, противоположном вектору-градиенту. Если прямая при своем движении не покидает ОДР, то соответствующий максимум или минимум f(x1,x2) не существует.

Если линия уровня параллельна какой-либо прямой из ограничений задачи, то оптимальное значение целевой функции будет достигаться в любой точке этой прямой.

Пример.

Для изготовления двух видов продукции А1 и А2 используют три вида ресурсов S1, S2, S3, запасы которых составляют 18, 16 и 5 усл. ед. соответственно. Расход ресурсов на 1 ед. продукции приведен в таблице:

Виды ресурсов	Запасы ресурсов	Расходы ресурсов на 1 изд.
А1	А2
S1	18	1	3
S2	16	2	1
S3	5	-	1
	Прибыль	2 руб.	3 руб.

Необходимо составить такой план производства продукции, который обеспечит наибольшую прибыль от ее реализации.

Решение.

Составим экономико-математическую модель (ЭММ) задачи.

Пусть надо выпустить изделий A1 - x1 шт., а изделий А2 - x2 шт. Тогда прибыль от реализации составит 2x1 + 3x2 и она должна быть максимальной. Получим целевую функцию: F=2x1 + 3x2→ max.

На одно изделие А1 затрачивается 1 усл. ед. ресурса S1, тогда на x1 шт. затратится x1 усл. ед. На одно изделие А2 затрачивается 3 усл. ед. ресурса S1, тогда на x2 шт. затратится 3x2 усл. ед. На оба изделия затратится x1+ 3x2 усл. ед. ресурса S1. Так как всего в наличие 18 усл. ед., то получим первое ограничение: x1 + 3x2 £18. Аналогично получим остальные ограничения.

Запишем модель: найти максимальное значение функции F=2x1 + 3x2 при условиях

x1 + 3x2 £	18
2x1 + x2 £	16
x2 £	5
x1 ³ 0,	x2 ³ 0

Построим область допустимых значений:

1) первое ограничение по ресурсу S1 x1 + 3x2 £ 18; прямая x1 + 3x2 = 18 проходит через точки (0; 6) (18; 0); неравенству соответствует полуплоскость, содержащая данную прямую и лежащая ниже неё (контрольная точка (0; 0), 0 + 3*0 < 18 принадлежит полуплоскости);

2) второе ограничение по ресурсу S2 2x1 + x2 £ 16: прямая 2x1 + x2 = 16 проходит через точки (0; 16) (8; 0); неравенству соответствует полуплоскость, содержащая данную прямую и лежащая ниже неё (контрольная точка (0; 0), 2*0 + 0 < 16 принадлежит полуплоскости);

3) неравенству x2 £ 5 соответствует полуплоскость, содержащая прямую x2 = 5 и лежащая ниже неё.

4) x1 ³ 0 - правее ОX2;

5) x2 ³ 0 - выше ОX1.

Рис. 1.

Вектор-градиент имеет координаты .

Построим линии уровня 2x1 + 3 x2 = а. При а = 0 получим прямую 2x1 + 3x2 = 0, проходящую через точки (0; 0) (3; -2). Так как задача на максимум, то передвигаем линию уровня в направлении градиента. Предельной точкой (последней из области допустимых решений, с которой соприкасается линия уровня) является точка С. Значит, в ней достигается максимум функции F.

Найдём её координаты. Для этого решим систему:

x1 + 3 x2 = 18, x1 = 6,

2x1 + x2 = 16; x2 = 4.

Таким образом, необходимо выпустить x1 = 6 шт. изделий А1, x2 = 4 шт. изделий А2, чтобы получить max F = 2*6 + 3*4 = 24 ден. ед.

Симплексный метод решения Задачи линейного программирования. Двойственная задача

Пример. а) составить для данной задачи линейного программирования двойственную задачу; б) решить исходную задачу симплексным методом; в) по решению исходной найти решение двойственной задачи.

а) Число переменных в двойственной задаче равно числу уравнений в системе, т. е. 3. Коэффициентами в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены системы уравнений, т. е. 6, 24, 30. Коэффициенты целевой функции исходной задачи являются свободными членами двойственной.

Целевая функция исходной задачи исследуется на максимум, а система условий содержит одно неравенство и два уравнения. Поэтому в двойственной задаче целевая функция исследуется на минимум, а переменные, которым соответствуют равенства, могут принимать любые значения. Так как все три переменные исходной задачи принимают только неотрицательные значения, то в системе условий двойственной задачи должны быть неравенства вида "≥". Следовательно, двойственная задача такова: