Тема VII. Ряды (стр. 2 )

Первый признак сравнения:

Если для n ³ n0 un £ vn и ряд (2) сходится, то сходится также и ряд (1).

Если для n ³ n0 un ³ vn и ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1).

Второй признак сравнения:

Если существует конечный и отличный от нуля предел , то рассматриваемые ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.

Таким образом, чтобы установить сходимость или расходимость ряда, этот ряд сравнивают с каким-нибудь заведомо сходящимся или расходящимся рядом.

Для сравнения часто используются ряды:

1. Ряд (|q| < 1), cоставленный из членов любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся.

2. Ряд Дирихле сходится при р > 1, расходится при р ≤ 1

В случае p=1 имеем гармонический ряд:

. Гармонический ряд расходится.

Замечание 1: Условие второго признака сравнения выполняется, в частности, когда величины и эквивалентны при n®∞ (~, n®∞), т. к. в этом случае l=1. Поэтому этот признак применяют, когда можно пренебречь младшими степенями n или воспользоваться таблицей эквивалентностей (см. тему «Предел функции»)

Замечание 2: Для применения первого признака сравнения часто используют следующие неравенства, выполняющиеся для достаточно больших n:

; ; и т. п.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд:

Решение. Общий член ряда представляет собой дробно-рациональное выражение, так что мы можем пренебречь младшими слагаемыми, получив выражение, эквивалентное данному при n→∞:

. Ряд вида отличается от гармонического ряда только постоянным сомножителем и, следовательно, расходится.

На основании второго признака сравнения рядов заключаем, что данный ряд расходится.

Замечание: Здесь можно было использовать и первый признак сравнения, т. к.

и ряд расходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд:

Решение. Сравним этот ряд с рядом , который представляет собой сумму геометрической прогрессии со знаменателем . , при n 2 и ряд сходится как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому и исследуемый ряд сходится (по первому признаку сравнения).

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд:

Решение. Известно, что при x→0 бесконечно малая функция tgx эквивалентна x, т. е. tgx~x. Следовательно, при n→∞ ~ . Ряд сходится (это ряд Дирихле со значением параметра р=3/2>1).

Следовательно, по второму признаку сравнения, исходный ряд сходится.

Решить: Исследовать на сходимость при помощи теорем сравнения:

A 1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

B 10) 11)

12) 13)

Признак Даламбера

Рассмотрим числовой ряд с положительными членами .

Если , то:

ряд сходится, если l<1; ряд расходится, если l>1; в случае l=1 вопрос о сходимости или расходимости ряда остается открытым.

Пример 1. Доказать сходимость ряда

Решение. Общий член ряда определяется формулой . Заменяя в этой формуле n на n+1, получаем последующий член .

Составим отношение последующего члена к предыдущему:

: .

Найдем предел

Так как l=<1, то ряд сходится (по признаку Даламбера).

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Здесь , ,

Согласно признаку Даламбера, ряд сходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Решение. Здесь .

, значит, ряд сходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда:

Решение. Здесь , .

Применим признак Даламбера

(учитывая, что при ):

, ряд сходится.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Здесь поэтому

>1, значит, ряд расходится.

Замечание.

Напомним, что при вычислении пределов такого вида используют следующие свойства функции ln:

для любой функции у справедливо тождество;

для любых а>0, b;

ln y ~ y-1 при y®1.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда:

Решение. Здесь

; ,

следовательно, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости данного ряда.

Используем второй признак сравнения. Легко видеть, что

. Ряд сходится как ряд Дирихле с р>1. Следовательно, и ряд сходится.