Тема VII. Ряды (стр. 6 )

неравенству

т. е. .

Отсюда получаем .

Выражение в скобках не зависит от n, поэтому 2х2<1, или х2<1/2. Окончательно получаем , т. е. .

Исследуем поведение ряда на концах промежутка.

При получим расходящийся числовой ряд 1+1+1+1+…+1+…

Таким образом, на концах интервала данный ряд расходится. Промежутком сходимости является интервал .

Замечание. Тот же результат можно было получить, воспользовавшись радикальным признаком Коши.

Пример 7 Найти область сходимости степенного ряда

.

Решение: Применим признак Даламбера.

В данном случае .

Ряд сходится при (х+3)2<1, т. е. ½х+3½<1, -1<х+3<1, т. е. -4<х<-2.

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка (-4; -2). При х=-4 получаем ряд - гармонический ряд, который расходится. При х=-2 также получаем расходящийся гармонический ряд

Следовательно, областью сходимости данного ряда является интервал

(-4; -2).

 

Замечание. В некоторых случаях функциональный ряд можно при помощи замены переменой привести к виду степенного ряда, для нахождения области сходимости которого можно воспользоваться формулами радиуса сходимости.

Пример 8. Найти область сходимости степенного ряда

.

Решение.

Поскольку данный ряд не содержит четных степеней х, формулами для нахождения радиуса сходимости пользоваться нельзя. Но это степенной ряд,

поэтому он заведомо сходится при х=2 (в центре ряда). При любых других значениях х исследуемый ряд можно привести к виду , поскольку х не зависит от n и, следовательно, общий множитель можно вынести за знак суммы. Сделаем замену переменной y=(x-2)2; тогда

(y>0). Этот ряд сходится при y<R, где . При y=1 имеем ряд , который сходится как ряд Дирихле.

Таким образом, исследуемый ряд сходится при (х-2)2£1, т. е. ½х-2½£1, т. е. 1£х£3.

Областью сходимости ряда является замкнутый промежуток [1;3].

 

Пример 9. Найти область сходимости ряда .

Решение. Сделаем замену переменной . Тогда задача сводится к исследованию сходимости степенного ряда . Радиус сходимости найдем по формуле Коши: . При y= имеем ряд , который расходится как ряд Дирихле (р=1/2). При y= получаем знакочередующийся ряд , который сходится (по признаку Лейбница).

Таким образом, исследуемый ряд сходится при £y, т. е. £, откуда получаем условие x>3 или x£-3.

Область сходимости исследуемого ряда есть объединение двух лучей

(-¥ -3] È (3; ¥). Графически:

 

Решить: Найти промежуток сходимости функционального ряда:

A 1) 2) 3) ;

4) 5)

6) 7) 8)

9) 10) 11)

12) 13) 14)

B 15) 16)

(В последних задачах при подстановке граничных точек получаются числовые ряды, для исследования которых недостаточно приведенных в данном пособии признаков, так что эту часть решения выполнять не требуется)

B Вычисление сумм степенных и числовых рядов

Внутри области сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать, т. е. если

, то

и .

Это позволяет во многих случаях вычислять сумму степенного ряда, учитывая, что сумма ряда бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле

.

Пример 1. Найти сумму ряда

Решение: Обозначим . Тогда внутри интервала сходимости данного ряда имеем:

Полученный ряд является рядом геометрической прогрессии, причем

b1=1, q=x. Следовательно, . Далее,

.

Таким образом, .

Пример 2. Найти сумму ряда .

Решение. При дифференцировании данного степенного ряда мы не получим ряд геометрической прогрессии, т. к. не сокращается знаменатель 2n-1. Представим данный ряд в виде

и найдем сумму ряда :

;

.

Тогда .

Пример 3. Найти сумму ряда

Решение. Представим данный ряд в виде: