Тема VII. Ряды (стр. 4 )

4) 5) 6)

Исследовать на сходимость:

7) 8) 9) 10)

11) 12) 13) 14)

15) 16) 17) 18)

19) 20) 21)

До сих пор рассматривались ряды с положительными членами. Обратимся теперь к рядам, члены которых имеют разные знаки.

Знакопеременные ряды.

Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным.

При исследовании знакопеременного ряда

прежде всего составляют ряд из абсолютных величин его членов, т. е.

Если ряд сходится, то сходится и сам ряд . В этом случае ряд называется абсолютно сходящимся.

Из расходимости ряда не следует расходимость ряда .

Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

Замечание. Если расходимость ряда из абсолютных величин установлена на основании необходимого признака сходимости, т. е. , то и исходный знакопеременный ряд будет расходиться, т. к. в этом случае и .

Ряд является рядом с положительными членами, поэтому для исследования вопроса о его сходимости можно применять ранее рассмотренные признаки (признаки сравнения, признаки Даламбера и Коши, интегральный признак Коши).

Пример 1. Доказать сходимость ряда .

Решение.

Составим ряд из абсолютных величин членов исследуемого ряда:

(1)

Рассмотрим ряд вида (2)

Ряд (2) является рядом Дирихле со значением р=3>1, следовательно, сходится.

К ряду (1) применим признак сравнения: и (2) сходится Þ (1) сходится.

Таким образом, ряд, составленный из абсолютных величин членов заданного ряда сходится, следовательно, сам заданный ряд сходится абсолютно.

Ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки, называется знакочередующимся.

Признак Лейбница (сходимости знакочередующегося ряда)

Знакочередующийся ряд

сходится, если абсолютные величины его членов убывают, а общий член стремится к нулю, т. е. если выполняются следующие два условия:

1) ; 2) .

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд:

Решение.

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

Это гармонический ряд, который расходится. Следовательно, абсолютной сходимости в данном случае нет.

Данный ряд является знакочередующимся. Проверим условия признака Лейбница:

1) очевидно, ; 2) .

Следовательно, данный ряд сходится условно.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Ряд из абсолютных величин членов данного ряда не удовлетворяет необходимому признаку сходимости:

. Следовательно, данный ряд расходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: . Применяя признак Даламбера, имеем:

.

Таким образом, ряд сходится. Отсюда следует, что данный ряд тоже сходится, и притом абсолютно.

Замечание. В случаях, аналогичных рассмотренной задаче, когда применение признака Лейбница связано с громоздкими выкладками, выгодно сразу же исследовать знакопеременный ряд на абсолютную сходимость с помощью признака Даламбера (или Коши).

Отметим, что, если признак Даламбера (или Коши) устанавливает, что ряд, составленный из абсолютных величин членов заданного ряда, расходится, то,

оказывается, заданный знакопеременный ряд не может сходиться даже условно, т. е. он расходится. Действительно, если, например, , то и при n®¥, следовательно, , т. е. не выполняется необходимый признак сходимости.

Пример 5. Исследовать на сходимость:

Решение: Рассмотрим ряд и составим отношение:

.

В данном случае и признак Даламбера результата не дает. Но мы можем заметить, что для любых n верно, что , то есть . Поскольку возрастающая положительная последовательность не может сходиться к нулю, то . Таким образом, необходимый признак не выполняется для ряда из абсолютных величин, а значит, и для данного знакочередующегося ряда. Следовательно, данный ряд расходится.

Решить: Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:

A 1) 2)

3) 4) 5)

6)

7) 8) 9)

Степенные ряды.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида