Тема VII. Ряды (стр. 7 )

Найдем сумму ряда S1(x), предварительно проинтегрировав его:

;

. Тогда искомая сумма ряда .

Пример 4. Найти сумму ряда .

Решение. Рассмотрим степенной ряд .

При х=1 этот ряд принимает вид данного числового ряда, поэтому искомая сумма числового ряда есть S(1). Найдем S(x):

;

.

Таким образом, .

Решить: Найти сумму ряда:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

Разложение функций в степенные ряды

Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:

,

где rn – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:

, где число x заключено между х и а.

Если для некоторого значения х rn®0 при n®¥, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора:

Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:

1)  она имеет производные всех порядков;

2)  построенный ряд сходится в этой точке.

При а=0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена:

Пример 1. Разложить в степенной ряд функцию f(x)=2x.

Решение. Найдем значения функции и ее производных при х=0

f(x) = 2x, f(0) = 20=1;

f¢(x) = 2xln2, f¢(0) = 20 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2x ln22, f¢¢(0) = 20 ln22= ln22;

…

f(n)(x) = 2x lnn2, f(n)(0) = 20 lnn2= lnn2.

Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:

Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -¥<x<+¥.

Пример 2. Написать ряд Тейлора по степеням (х+4) для функции f(x)=ex.

Решение. Находим производные функции ex и их значения в точке х=-4.

f(x) = еx, f(-4) = е-4;

f¢(x) = еx, f¢(-4) = е-4;

f¢¢(x) = еx, f¢¢(-4) = е-4;

…

f(n)(x) = еx, f(n)( -4) = е-4.

Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:

Данное разложение также справедливо для -¥<x<+¥.

Пример 3. Разложить функцию f(x)=lnx в ряд по степеням (х-1),

( т. е. в ряд Тейлора в окрестности точки х=1).

Решение. Находим производные данной функции.

…

Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:

С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при

½х-1½<1. Действительно,

Ряд сходится, если ½х-1½<1, т. е. при 0<x<2. При х=2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х=0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].

Приведем полученные подобным образом разложения в ряд Маклорена (т. е. в окрестности точки х=0) для некоторых элементарных функций:

(1) ,

(2) ,

(3) ,

(4) ,

(5) .

(последнее разложение называют биномиальным рядом)

Пример 4. Разложить в степенной ряд функцию

Решение. В разложении (1) заменяем х на –х2, получаем:

.

Пример 5. Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. Имеем

Пользуясь формулой (4), можем записать:

;

подставляя вместо х в формулу –х, получим:

Отсюда находим:

Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим

Этот ряд сходится в интервале

(-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.

Замечание.

Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т. е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х стоит k(х-а)m, где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t=х-а и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.

Этот метод иллюстрирует теорему о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось.