Тема VII. Ряды (стр. 5 )

где - числа, называемые коэффициентами ряда (некоторые из них могут быть нулями).

При степенной ряд принимает вид

Основным свойством степенных рядов является следующее:

Теорема Абеля:

Если степенной ряд сходится при х=х0, то он будет сходиться (и притом абсолютно) при всяком значении х, удовлетворяющем неравенству

½х-а½=½х0-а½

Одним из следствий теоремы Абеля является факт существования для всякого степенного ряда интервала сходимости с центром в точке а:

½х-а½<R, или a-R<x<a+R, внутри которого степенной ряд абсолютно сходится и вне которого ряд расходится. На концах интервала (в точках x=a±R) различные степенные ряды ведут себя по-разному: одни сходятся абсолютно на обоих концах; другие либо условно сходятся на обоих концах, либо на одном из них условно сходятся, на другом расходятся; третьи расходятся на обоих концах.

Число R – половина длины интервала сходимости – называется радиусом сходимости степенного ряда.

В частных случаях радиус сходимости ряда R может быть равен нулю или бесконечности. Если R=0, то любой степенной ряд сходится лишь при х=а.

Если R=¥, то степенной ряд сходится на всей числовой оси.

Одним из способов определения радиуса сходимости степенного ряда является применение признаков Даламбера и Коши.

Радиус сходимости степенного ряда можно также вычислить по одной из формул

, (1)

, (2)

если соответствующий предел существует.

Но эти формулы справедливы только для тех рядов, члены которых содержат все или почти все целые положительные степени х, т. е. в которых есть не более конечного числа нулевых коэффициентов.

Пример 1. Исследовать сходимость степенного ряда

Решение

Здесь Найдем радиус сходимости ряда:

Следовательно, ряд сходится для значений х, удовлетворяющих неравенству ½х½<1 или -1<х<1.

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Подставляя в данный ряд вместо х число 1, получим гармонический ряд , который, как известно, расходится.

Если х=-1, получаем числовой знакочередующийся ряд
Этот ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница:

1) ; 2) .

Таким образом, данный ряд сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенствам -1£х<1, и его промежуток сходимости представляет собой полузамкнутый интервал [-1;1).

Геометрически это выглядит так:

 

Пример 2. Найти область сходимости ряда:

Решение. Найдем радиус сходимости этого ряда по формуле .

;

Следовательно, радиус сходимости , а интервал сходимости (-;). Геометрически это выглядит так:

 

Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходимости. В правом конце, при х= , данный степенной ряд превращается в числовой ряд вида:

Выше сходимость этого ряда была доказана при помощи интегрального признака.

В левом конце, при х=-, данный степенной ряд превращается в знакочередующийся ряд который сходится абсолютно, так как сходится соответствующий ряд из абсолютных величин: .

Таким образом, данный степенной ряд сходится в обоих концах интервала сходимости, значит, областью сходимости будет отрезок т. е. .

Графически:

 

Пример 3. Найти промежуток сходимости ряда:

Решение.

Радиус сходимости ряда находим по формуле .

В нашей задаче

Поэтому .

Значит, данный ряд сходится при значениях х, удовлетворяющих неравенству ½х½<10 или -10<х<10.

Исследуем теперь поведение ряда на концах промежутка. Подставляя в данный ряд вместо х число 10 получаем ряд:

,

который расходится как гармонический (отличаясь от него лишь постоянным множителем)

При х=-10 получим числовой знакочередующийся ряд:

, который сходится условно.

Таким образом, данный степенной ряд сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенствам -10£х<10, и его промежуток сходимости представляет собой полузамкнутый интервал [-10;10).

Графически:

 

Пример 4. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение.

;

Радиус сходимости ряда равен нулю. Ряд сходится в единственной точке х=0

Замечание.

1. При вычислении предела использовали второй замечательный предел .

2. Тот же результат можно получить и по формуле :

.

Пример 5. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда .

Решение

Так как ,

то . Ряд сходится при всех х, т. е. в интервале (-¥; +¥).

Пример 6. Найти промежуток сходимости ряда

Решение.

Здесь мы не вправе применять формулу для отыскания радиуса сходимости ряда, так как он не содержит четных степеней х. Поэтому промежуток сходимости ряда найдем, воспользовавшись признаком Даламбера.

Данный ряд будет сходиться при всех значениях х, удовлетворяющих