Тема VII. Ряды (стр. 3 )

Замечание. Как видим, признак Даламбера удобно применять, если общий член ряда содержит множители вида вида аn, n!, nn и т. п. Если же общий член ряда является рациональной или иррациональной (как в последнем примере) дробью, то признак Даламбера неприменим, так как в этом случае соседние члены ряда отличаются друг от друга незначительно.

Решить: Исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера:

A 1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12)

B 13) 14)

15) 16) 17)

Радикальный признак Коши.

Если для ряда с положительными членами существует , то этот ряд сходится при l<1 и расходится при l>1. Если l=1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым (нужны дополнительные исследования).

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Имеем . Здесь удобно применить признак Коши:

.

Так как , то ряд сходится.

Пример 2. Доказать сходимость ряда

Решение. Применим признак Коши. В данном случае ; так как , то ряд сходится.

Пример 3. Исследовать вопрос о сходимости ряда

Решение. Применим признак Коши.

, следовательно, ряд сходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд.

Решение. Находим

, следовательно, ряд сходится (по признаку Коши).

Замечание При применении признака Коши следует учитывать, что

(см. тему «Предел функции);

вообще, , где - многочлен

Решить: Исследовать на сходимость с помощью радикального признака Коши:

A 1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

B 9) 10) 11)

Интегральный признак Коши

Пусть члены ряда положительны и не возрастают, т. е. и пусть f(x) – такая непрерывная, положительная и невозрастающая функция, что f(1)=u1, f(2)=u2,…,f(n)=un,…

Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно (т. е. из сходимости интеграла следует сходимость ряда и наоборот).

Замечание. Нижним пределом интегрирования в интеграле может быть любое другое положительное число из области существования функции.

Пример 1. С помощью интегрального признака Коши доказать сходимость ряда

Решение. Общий член данного ряда определяется формулой (n=1,2,3,…). Записав в этой формуле х вместо n, получаем функцию . Эта функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши (она принимает положительные значения и убывает с возрастанием х).

Рассмотрим несобственный интеграл

.

Предел существует и конечен, значит интеграл сходится и, следовательно, сходится и данный ряд.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Общий член ряда определяется формулой . (заметим, что суммирование начинается с n=2, а при n=1 член ряда не определен, так как в знаменателе содержится множитель ln1=0; однако на исследование сходимости это не влияет). Из формулы общего члена ряда

находим функцию . Рассмотрим несобственный интеграл

.

Поскольку предел бесконечен, то интеграл расходится, поэтому расходится и данный ряд.

Пример 3. С помощью интегрального признака исследовать на сходимость ряд:

Решение. Функция при х³1 положительна, непрерывна и монотонно убывает, т. е. удовлетворяет условиям интегрального признака Коши.

Рассмотрим несобственный интеграл

.

Поскольку предел равен конечному числу, а именно, , то интеграл сходится, значит, и данный ряд также сходится.

Пример 4. Доказать сходимость ряда

Решение. Функция при х≥1 положительна, непрерывна и монотонно убывает. Для применения интегрального признака следует рассмотреть несобственный интеграл

.

Так как несобственный интеграл равен конечному числу, т. е. сходится, значит, и данный ряд сходится.

Замечание. Аналогичным образом рассматривается вопрос о сходимости ряда Дирихле с любым положительным значением р.

Решить:

Исследовать с помощью интегрального признака сходимость рядов:

A 1) 2) 3)