Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 1 )

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ЯРОСЛАВА МУДРОГО»

Кафедра «Прикладная математика и информатика»

УТВЕРЖДАЮ

Директор ИЭИС

_____________

«____» ______________200_ г.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Дисциплина для направления 010500.62
и специальности 010501.65 – прикладная математика и информатика

Рабочая программа

СОГЛАСОВАНО Начальник учебно-методического отдела _______________ «____» ______________200_ г

Принято на заседании кафедры «____»______________ 200_ г. Разработал ___________ «____» ______________200_ г.

Введение

Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика»» входит в блок обще-профессиональных дисциплин федерального компонента и читается в 4-5 семестрах.

Курс «Теория вероятностей и математическая статистика» является классическим в современном университетском образовании и одним из основных в подготовке специалистов математического профиля. «Теория вероятностей и математическая статистика» - базисный курс для разделов «Теория случайных процессов», «Цепи Маркова» и многих прикладных дисциплин, использующих понятия вероятности и случайной величины.

Читаемый курс предполагает у студентов владение основными понятиями и методами математического анализа, алгебры и дискретной математики. В подразделе «математическая статистика» для обработки числовых данных необходимы навыки программирования и использования стандартного программного обеспечения.

Курсовые работы носят исследовательский характер и выполняются по индивидуальным темам в соответствии с общей тематикой «Методы обработки, анализа и интерпретации статистических данных».

Целями преподавания дисциплины являются:

·  изучение студентами теоретических основ дисциплины;

·  приобретение студентами практических навыков по изучаемой дисциплине;

·  создание базиса для дальнейшего самостоятельного изучения предмета;

·  закладка теоретического фундамента, необходимого для изучения множества других специальных и прикладных дисциплин;

·  формирование у студентов математической и исследовательской культуры.

1 Объем дисциплины, виды учебной работы и формы контроля

Таблица 1.1 – Дневная форма обучения

Вид учебной работы	Всего	Часов по семестрам
4 семестр	5 семестр
Аудиторные занятия	119	68	51
- лекции	60	34	26
- практические занятия	59	34	25
- семинары	-	-	-
- лабораторные работы	-	-	-
Самостоятельная работа	76	25	60
- курсовой проект	60	-	60
- расчетно-графическая работа	-		-
- реферат	-	-	-
- контрольная работа	-	-	-
- прочие	33	15	18
Всего	204	93	111
Вид итогового контроля	-	экзамен	зачет

2 Содержание дисциплины

Таблица 2.1 – Содержание теоретических занятий

Тема	Трудоемкость в часах
Очная форма
Ауд.	СРС
1 Случайные события и вероятность Основные понятия теории случайных событий. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность. Статистическое определение вероятности. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Функция Лапласа. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Теорема Бернулли (закон больших чисел).	8	4
2 Случайные величины Функция распределения. Дискретные и непрерывные случайные величины. Моменты. Математическое ожидание и дисперсия. Классификация распределений. Дискретное равномерное распределение. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Предельная теорема Пуассона. Геометрическое распределение. Гипергеометрическое распределение. Плотность распределения вероятностей. Равномерное распределение на отрезке. Нормальное распределение и его основные характеристики. Роль нормального распределения в теории вероятностей. Показательное распределение. Числовые характеристики одной случайной величины (мода, медиана, квантили, асимметрия, эксцесс и т. д.).	10	4
3 Системы случайных величин Функция распределения. Плотность распределения вероятностей. Числовые характеристики системы случайных величин (моменты, дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции, ковариационная и корреляционная матрицы). Независимость и некоррелированность случайных величин. Система двух и n дискретных случайных величин Нормальное распределение системы двух и n случайных величин.	6	4
4 Функции случайных величин Функции дискретных случайных величин. Свертка. Линейная функция одной случайной величины (произвольной и гауссовской). Произвольная функция одной случайной величины. Линейная функция двух и n случайных величин (произвольных и гауссовских). Произведение и частное двух случайных величин.	6	3
5 Специальные распределения Гамма - и бета-функции. Распределение Пирсона (хи-квадрат). Распределение Стьюдента. Распределение Фишера-Снедекора. Взаимосвязь некоторых распределений (гамма-распределение, показательное, Эрланга, хи, хи-квадрат, Максвелла, модуля вектора, Вейбулла-Гнеденко, логнормальное). Класс распределений Пирсона. Усеченные распределения.	4	-
6 Характеристические функции Определение и свойства. Формула обращения и теорема единственности. Характеристические функции некоторых распределений. 7 Регрессия Условная плотность. Условные распределения дискретных и непрерывных случайных величин. Регрессия. Линейная регрессионная зависимость гауссовских случайных величин. Среднеквадратическая регрессия. Метод наименьших квадратов. 8 Предельные теоремы Неравенство Маркова, неравенство Чебышева. Закон больших чисел (теоремы Маркова, Чебышева, Хинчина). Центральная предельная теорема (теоремы Линдеберга-Леви, Ляпунова). 9 Выборочный метод Задачи математической статистики. Основные понятия (генеральная и выборочная совокупности, репрезентативность выборки, эмпирические характеристики, преобразование выборок, полигон и гистограмма). Методы сбора данных. Выборочное распределение. Преобразование выборок. 10 Оценки параметров распределений Понятие оценки, особенности малых выборок. Точечные оценки параметров и их свойства (несмещенность, состоятельность, эффективность). Функция правдоподобия. Неравенство Крамера-Рао. Метод наибольшего правдоподобия. Метод моментов. Распределения некоторых статистик. Интервальные оценки. Доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии, разности средних. Оценка вероятности по частоте. Ошибка выборки, оптимальная численность выборки. 11 Проверка статистических гипотез Статистическая гипотеза. Статистический критерий (основные принципы). Сравнение дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей. Проверка гипотезы о равенстве неизвестной дисперсии гипотетическому значению. Сравнение средних двух нормальных генеральных совокупностей при известных дисперсиях и при неизвестных одинаковых дисперсиях (критерий Стьюдента). Сравнение выборочной средней с гипотетической величиной. Наблюдения до и после эксперимента. Проверка гипотез о вероятности в схеме Бернулли. Мощность критерия. Множественные сравнения, критерий Стьюдента с поправкой Бонферрони. Критерии согласия. 12 Анализ зависимостей Типы зависимостей. Выборочный коэффициент корреляции. Проверка независимости признаков. Проверка гипотезы о силе линейной связи двух признаков. Выборочная регрессия. Использование линейной регрессии в случае нелинейной зависимости.	2 3 3 3 5 6 4	- - - - - -
ВСЕГО	60	15

Таблица 2.2 – Содержание практических работ

Тема	Трудоемкость в часах
Очная форма
Ауд.	СРС
1 Случайные события и вероятность	10	3
2 Случайные величины 3 Системы случайных величин	10 6	3 3
4 Функции случайных величин	5	1
5 Специальные распределения	3	-
6 Характеристические функции	2	-
7 Регрессия	3	-
8 Предельные теоремы 9 Выборочный метод 10 Оценки параметров распределений 11 Проверка статистических гипотез 12 Анализ зависимостей	2 4 5 5 4	- - - - -
ВСЕГО	59	10

3 Учебно-методическое обеспечение