Элементы линейной алгебры (стр. 11 )

Воспользуемся теперь замечанием и продолжим преобразования расширенной матрицы системы

. Здесь первая стрелка соответствует следующей последовательности элементарных преобразований: 1) из первой строки вычли четвертую строку; 2) ко второй строке, умноженной на 3, прибавили четвертую строку, умноженную на 7; 3) к третьей строке, умноженной на 3, прибавили четвертую строку, умноженную на –8. Вторая стрелка соответствует делению третьей строки на –5. Третья стрелка соответствует преобразованиям: 1) к первой строке, умноженной на 3, прибавили третью строку; 2) ко второй строке прибавили третью строку, умноженную на –3. Четвертая стрелка соответствует прибавлению второй строки к первой, а пятая – делению всех строк на 3.

Из последней матрицы находим решение системы .

Пример. Исследовать и решить систему

Приведем расширенную матрицу системы к трапецевидной форме:

= ® ® ® = . Так как r(A) = r() = 3 < 4, то данная система имеет бесконечное множество решений. Так как для приведения расширенной матрицы системы к трапецевидной форме не пользовались перестановкой столбцов, то из третьей строки матрицы получаем . Из второй строки получаем уравнение = или . Из первой строки получаем . Обозначив = C, запишем множество всех решений системы , где C - любое действительное число.

Пример. Исследовать и решить систему

Приводим расширенную матрицу системы к трапецевидной форме:

= ® ® ® ® . Из последнего уравнения полученной матрицы имеем 0 = -2, что невозможно. Значит, рассматриваемая система несовместна.

3. Использование метода Гаусса для отыскания обратной матрицы.

Пусть A – квадратная матрица порядка n и detA ¹ 0. Тогда обратная к ней матрица удовлетворяет равенству , которое эквивалентно n равенствам

, (12)

, где есть i – тый столбец матрицы , а является i – тым столбцом единичной матрицы . Следовательно, столбец матрицы является решением линейной системы (12) с матрицей системы А и расширенной матрицей системы (А |). Система (12) имеет единственное решение, так как detA ¹ 0. Решим эту систему методом Гаусса, приведя элементарными преобразованиями расширенную матрицу системы к виду (Е | ). Таким образом, в системе, эквивалентной исходной системе (12), на месте столбца свободных членов будет находиться решение системы (12) – столбец матрицы . Все столбцы обратной матрицы можно найти одновременно, так как набор элементарных преобразований ( А |) ® ( Е | ) полностью определяется матрицей A и не зависит от i. Для этого матрицу (А |) = (А | E) элементарными преобразованиями над строками приводим к виду

(E | ) = ( E | ).

Пример. Найдем методом Гаусса обратную матрицу к матрице . Для этого составим матрицу (А | E) и применим метод Гаусса. Имеем

®® ® . Следовательно, == . Здесь первая стрелка соответствует прибавлению второй строки, умноженной на 3, к третьей строке и прибавлению ко второй строке, умноженной на 2, первой строки. Вторая стрелка соответствует прибавлению к третьей строке, умноженной на 7, второй строки, умноженной на –11. Третья стрелка соответствует прибавлению ко второй строке третьей строки, умноженной на 2. Четвертая стрелка соответствует прибавлению к первой строке, умноженной на –7, второй строки. Пятая стрелка соответствует делению первой строки на –14, второй строки на 7, а третьей строки на –4.

Упражнение. Пользуясь теоремой Кронекера – Капелли докажите, что линейная система (3) в случае m = n несовместна или имеет бесконечное множество решений Û D = 0. При этом: а) система (3) несовместна Û D = 0, а хотя бы один из определителей отличен от нуля; б) система (3) имеет бесконечное множество решений Û D = 0, и все определители равны нулю.

§ 3. Собственные числа и собственные векторы матрицы

Условимся называть одностолбцовые матрицы вида n - мерными векторами или просто векторами. Пусть дана квадратная матрица А порядка n.

Определение. Число l называется собственным числом матрицы А, если существует отличный от нуля вектор (хотя бы одно число) такой, что выполняется равенство