Рабочая программа учебной дисциплины Случайные процессы (стр. 2 )

Таблица 4

Лекционные занятия (34)

Темы лекционных занятий	Часы	Ссылки на цели
Исходные понятия и определения. Случайная функция (СФ), случайный процесс (СП), случайная последовательность. Конечномерные законы распределения СП. Математическое ожидание и ковариационная функция. Свойства моментов второго порядка. Белый шум. Некоторые классы случайных процессов. Нормальные случайные процессы. Стационарные СП в узком и широком смысле. Процессы с независимыми приращениями (ПНП). Процессы с некоррелированными приращениями (ПНКП), марковские, винеровские, пуассоновские процессы.	6	1,3,6,11
Элементы стохастического анализа. Сходимость в смысле среднего квадратического. Лемма Лоэва. Стохастический критерий Коши с. к. сходимости. Непрерывные СП, необходимые и достаточные условия непрерывности. Дифференцируемые СП, необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Интегрируемые СП, необходимые и достаточные условия интегрируемости. Стохастический интеграл от неслучайной функции Стохастический интеграл от случайной функции - интеграл Ито, Стратоновича, другие виды стохастических интегралов. Необходимые и достаточные условия стохастической интегрируемости. Дифференциал Ито, формула Ито. Стохастические дифференциальные уравнения 1-го и 2-го типов. Эргодические процессы. Достаточные условия эргодичности.	8	1,4,8,9,11,12, 13,14,15
Элементы спектральной теории ССП. Свойства ССП, спектральные характеристики ССП: спектральная функция и спектральная плотность, их связь с ковариационной функцией процесса - теорема Бохнера-Хинчина. ССП с дискретным спектром, теорема Слуцкого. ССП с непрерывным спектром. Свойства спектральной плотности. Стационарный белый шум. Использование некоторых СП в виде модели белого шума. Преобразование стационарного СП при прохождении его через линейную динамическую систему: частотная характеристика преобразования, импульсная переходная функция, передаточная функция. Связь спектральных и вероятностных характеристик входного и выходного процессов.	6	5,16,17,18,19, 20,21
Цепи Маркова. Основные определения: матрица переходных вероятностей за один шаг, за n шагов, вектор вероятностей состояний, в том числе начальных состояний. Существенные и несущественные состояния периодичность состояний, возвратность. Стационарные и финальные вероятности. Среднее время перехода из несущественного состояния в апериодический класс; среднее время перехода внутри класса. Марковские процессы с дискретными состояниями. Свойства матрицы переходных состояний. Инфинитезимальные параметры. Графы состояний. Уравнения Колмогорова для переходных матриц, для вероятностей состояний. Процесс гибели - размножения.	6	6,22,23,24
Стохастические модели состояния. Марковские процессы с непрерывными состояниями. Понятие стохастической модели состояния. Линейные стохастические модели состояний. Решение стохастической задачи Коши. Непрерывные марковские процессы диффузионного типа, свойства марковских переходных функций. Уравнения Колмогорова. Стохастические модели состояния и уравнения Колмогорова.	4	6,10,14,25
Элементы теории массового обслуживания. Основные понятия: простейший поток, время ожидания и время обслуживания. Некоторые типы марковских моделей систем массового обслуживания. Стационарный режим функционирования некоторых систем массового обслуживания: чистые СМО с ожиданием, СМО с отказами, СМО с ограниченной длиной очереди и замкнутые СМО.	4	6,7,26

Таблица 5

Практические занятия (34 час)

Тема	Учебная деятельность	Часы	Ссылки на цели
Описание траекторий СП, нахождение семейств распределений СП. Нахождение вероятностных характеристик СП: математического ожидания и ковариационной функции, взаимных ковариационных функций СП.	- изучает основные понятия темы - применяет вычислительные алгоритмы теории вероятностей для получения результатов (использование определений, свойств математического ожидания, дисперсии, ковариации случайных величин и т. д.)	8	1,11,27
Исследование СП на непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость. Нахождение вероятностных характеристик производного процесса, интеграла процесса, взаимной ковариационной функции исходных и получаемых процессов. Исследование СП на эргодичность. Вычисление характеристик интегралов Ито. Дифференциалы в форме Ито.	- изучает основные понятия темы - овладевает основными методами вычисления вероятностных характеристик процессов, полученных в результате линейных преобразований - нарабатывает навыки исследования СП на предмет непрерывности, дифференцируемости и т. д. - нарабатывает навыки получения дифференциалов случайных функций в форме Ито	8	1,4,8, 12,13, 14,15, 28,29
Нахождение спектральных характеристик СП по известным вероятностным характеристикам и наоборот. Вычисление передаточных функций линейных динамических систем. Вычисление характеристик выходного СП методом частотных характеристик и с использованием весовых функций.	- изучает основные понятия темы - овладевает основными методами вычисления спектральных характеристик процессов по известным вероятностным характеристикам и наоборот (использование теории вычетов) - нарабатывает навыки вычисления передаточных функций линейных систем (в том числе, с применением преобразований Лапласа)	8	5,16, 17,18, 19,20, 21,30, 31,34
Цепи Маркова, построение графов состояния системы, составление уравнений Колмогорова по графу системы. Нахождение вектора вероятностей стационарных состояний системы, в том числе для дискретных марковских процессов.	- изучает основные понятия темы - нарабатывает навыки вычисления вектора стационарных состояний системы	3	6,22, 23,24, 32
Решение стохастической задачи Коши. Обсуждение возможностей решения уравнений Колмогорова.	- изучает основные понятия темы - использует методы решения задачи Коши систем дифференциальных уравнений	3	1,7,9, 13,22
Вычисление основных характеристик некоторых систем массового обслуживания	- изучает основные понятия темы - использует общие соотношения стационарного режима функционирования СМО для конкретных типов систем - приобретает некоторые навыки интерпретации вероятностных характеристик СП	4	6,7,26, 33

5. Учебная деятельность

В семестре предусмотрено две контрольные работы. Первую работу студенты пишут на 10 неделе по теме первых двух практических занятий. Вторая контрольная работа выполняется по теме третьего практического занятия на 14 неделе.

Цель первой контрольной работы состоит в проверке остаточных знаний по теории вероятностей и умении привлечь эти знания для решения несколько более сложных задач, чем аналогичные задачи теории вероятностей, и проверке усвоения идей и методов стохастического анализа.

Цель второй контрольной работы заключается в проверке результатов усвоения материала по теме «Линейные преобразования СП» на примере линейных систем первого порядка, содержащих реактивные сопротивления, катушки и конденсаторы и умении проинтерпретировать полученные результаты.

Пример варианта контрольной работы №1.

1. Случайное гармоническое колебание задано в виде соотношения , где ω - неслучайная частота, а случайные амплитуды A и B независимы и подчиняются каждая нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией . Найти одномерную и двумерную плотности процесса.

2. Является ли скалярный процесс , стационарным в широком смысле, если X(t) - стационарный СП и для любого t случайные величины и u являются независимыми?

3. Дифференцируемый в среднеквадратическом смысле СП X(t), , имеет математическое ожидание и ковариационную функцию . Найти математическое ожидание и ковариационную функцию СП .

Пример варианта контрольной работы №2 [9].

Исходные данные: линейная система, входной сигнал X(t) имеет нулевое математическое ожидание и ковариационную функцию вида ; все начальные условия нулевые. Определить:

1) передаточную и импульсную функции системы ;

2) ковариационную функцию, дисперсию, спектральную плотность процесса на выходе;

3) взаимную ковариационную функцию входного и выходного процессов;

4) интервал корреляции выходного процесса;

5) ковариационную функцию и дисперсию производной от выходного процесса.

Варианты заданий содержат по 3 вопроса по указанной выше теме, например:

1. Вычислить передаточную функцию системы.

2. Вычислить с помощью передаточной функции ковариационную функцию процесса на выходе.

3. Вычислить с помощью импульсной функции спектральную плотность процесса на выходе.