Рабочая программа учебной дисциплины Случайные процессы (стр. 6 )

59. Пусть X(t)=acos(bt+g), tÎT, a, b - неотрицательные сл. величины с известной совместной плотностью вероятностей f(а, в), а сл. величина g не зависит от них и равномерно распределена на отрезке . Доказать, что СП X(t) стационарен.

60. Является ли СП X(t)=asinnt + bcosnt, tÎTÌ R, а)стационарным в широком смысле, б) стационарным в узком смысле, если n - неслучайный параметр, а a и b - некоррелированные сл. величины с Мa=Мb=0 и Da=Db=s2?

61. Является ли СП Y(t)= Х´ (t) + u, tÎT, стационарным в широком смысле, если X(t), tÎT, – стационарный процесс и а) " tÎT сл. величины Xt и u – независимы; б) u=X(t0), t0ÎT.

62. Пусть X(t)ºX " tÎR, причем X подчиняется показательному распределению с параметром l=2. Является ли СП X(t) стационарным в широком смысле?

63. Показать, что Kxy(t1, t2) стационарной сл. функции X(t), tÎT, и ее производной Y(t)= X`(t), tÎT, удовлетворяет условию

64. Нормальный стационарный случайный процесс X (t) имеет математическое ожидание Вычислить

65. Стационарный нормальный процесс X (t) имеет математическое ожидание и ковариационную функцию - постоянная величина. Найти двумерную плотность совместного распределения вероятностей случайных процессов X (t) и Y(t) = X¢(t) в один и тот же момент времени.

66. Пусть X(t) – стационарный случайный процесс, tÎT, с известной ковариационной функцией . Показать, что: а) б)

67. Задана ковариационная функция стационарного случайного процесса X (t) - K x(τ) = 4e –2 |τ| . Найти DY (t), если

68. Спектральная плотность стационарного в широком смысле случайного процесса X(t), tÎT, имеет вид (полосовой белый шум). Вычислить KX(τ); рассмотреть случай, когда ω2®ω1. Какому случайному процессу соответствует этот предельный случай?

69. Пусть где постоянные a, b > 0 . Найти KX(t), DX(t) и величину Dt×Dw, если X(t) – стационарный случайный процесс.

70. Найти sX(w), Dt·Dw для стационарного случайного процесса X(t) , tÎT, с ковариационной функцией KX(t) = DX e - a²τ² , α >0.

71. Стационарный случайный процесс X(t), tÎT, задан своей спектральной плотностью sX(ω). Найти sY(ω), если Y(t) = aX(t) + bX¢(t).

72. Пусть X(t) - нормальный стационарный случайный процесс c математическим ожиданием mX(t)=m и с ковариационной функцией a) KX(τ)=σX2e –α|τ| , α>0, b) KX(τ)=σX2e –α²τ² , α>0. Найти sY(ω), если Y(t)=X2(t) , tÎT.

73. Найти ковариационную функцию KX(τ) стационарного случайного процесса если

74. Пусть X(t), tÎT = [0, ¥] - дифференцируемый стационарный случайный процесс и Y(t) = X¢(t), tÎT. Найти DY(t), если где а и α ― известные постоянные.

75. Найти sX(ω) , если X(t), tÎT, - стационарный случайный процесс, DX(t) = σ2 и где τ0 - известная величина.

76. Показать, что случайный процесс X(t) , tÎT с ковариационной функцией не является стационарным в широком смысле.

77. Пусть , скалярный, стационарный СП с ковариационной функцией - известные величины. Найти .

78. Два скалярных стационарных СП X(t) и Y(t) , связаны равенством . Найти МО и дисперсию СП Y(t), если - известная постоянная.

79. Работу дифференцируемой RC - цепочки описывает уравнение RCY¢(t) + Y(t) = RCX¢(t), tÎT = [0, ¥). Найти mY(t) , DY(t), tÎT, если mX(t) = 0, KX(t) = σ2 cos βτ , где σ и β – известные постоянные.

80. Два стационарных случайных процесса X(t) и Y(t), tÎ[0, ¥), связаны равенством 5Y¢(t) + Y(t) = 4X¢(t) + 3X(t), tÎT. Найти mY(t), DY(t), если mX(t) = 0, KX(t) = 2e - a|t| , где a>0 - известная постоянная.

81. Пусть X(t), tÎT, – нормальный скалярный стационарный в широком смысле СП с mx(t)=0 и Kx(t)=(1 + t2)-1 и Y(t)=(X(t), X´(t))T. Найти одномерный закон распределения СП Y(t), tÎT.

82. Пусть X(t), tÎT, – стационарный в широком смысле, с. к. дифференцируемый СП. Будет ли стационарным в широком смысле СП

83. Для цепей Маркова с матрицами переходных вероятностей:

a), б) определить классы эквивалентности и периодичность различных состояний.

84. Найти полную классификацию состояний для цепи Маркова с переходной матрицей вида а) ,

б) .

85. Марковская цепь имеет матрицу переходных вероятностей вида: а) , б) Выделить классы состояний и найти предельные вероятности для i=0,1,2,3,4,5.

86. Найти полную классификацию состояний для цепи Маркова переходной матрицы вида:

.

87. Какие из следующих цепей Маркова являются эргодическими? Какие из эргодических цепей регулярны? 1); 2); 3);4); 5)

88. Из таблицы, содержащей все натуральные числа от 1 до m включительно, наудачу последовательно выбираются числа. Система находится в состоянии Sj, если число j является наибольшим из выборки. Найти вероятность того, что после выбора из таблицы n чисел, наибольшее число будет равно k, если перед этим наибольшим числом было число j.

89. Для однородной цепи Маркова, матрица

. Найти P(1) и P(2).

90. Матрица переходных вероятностей P однородной цепи Маркова имеет вид . Определить: а) числа возможных состояний этой цепи; б) вероятности состояний после двух шагов, если на нулевом шаге вероятности состояний одинаковы.

91. Дан граф состояний системы. Записать систему линейных алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний.

 

92. Дан граф состояний системы. Определить: а) тип процесса, в) предельные вероятности состояний, если они существуют.

 

93. Дан граф состояний системы. Определить предельные вероятности ее состояний.

 

94. Производится серия опытов, в каждом из которых подбрасывают две правильные монеты. Обозначим через S1 выпадение двух гербов, через S2 – выпадение герба и «решки», через S3 – выпадение двух «решек». 1). Найдите матрицу переходных вероятностей; 2).Классифицируйте состояния; 3).Если при некотором бросании получилось два герба, то какова вероятность, что два герба выпадут через три бросания?

95. Вычислительный комплекс может находиться в одном из состояний: S1 - работает, исправен; S2 - не исправен, остановлен, ведётся поиск неисправности; S3 – неисправность устраняется местными средствами; S4 –неисправность устраняется специалистами; S5 – подготовка к пуску. Процесс перехода из одного состояния в другое – марковский. Среднее время непрерывной работы комплекса – , среднее время поиска неисправностей – , среднее время ремонта местными средствами – , среднее время ремонта специалистами – , среднее время подготовки к пуску – . Неисправность может быть устранена местными средствами с вероятностью р и с вероятностью 1-р требует вызова специалистов. Как выглядит граф состояний системы S? Определить предельные вероятности состояний, если они существуют.

96. Построить граф состояний системы S из предыдущего примера, если отказавший узел немедленно восстанавливается. Опишите состояние системы.

97. Доказать, что СП , tÎT, имеет стохастический дифференциал в форме:

98. Доказать, что стохастическое дифференциальное уравнение имеет решение X(t)=(1 + 0.5W(t))2, t > 0.

99. Определите mX(t), KX(t1, t2) в стохастической задаче Коши

100. Определите mX(t), KX(t1, t2), DX(t) в стохастической задаче Коши 101. Пусть X(t) является решением стохастической задачи Коши:

, где l, b - неслучайные параметры. Можно ли этот процесс по прошествии некоторого времени считать стационарным в широком смысле? Если да, то чему равна его спектральная плотность?

102. Доказать, что стохастическая задача Коши ,

имеет решение .

103. Пусть СП X(t),, удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению .

Доказать, что условная функция плотности вероятностей равна

неслучайные параметры.

104. Напишите уравнение Маркова – Смолуховского – Чемпена – Колмогорова. Почему оно справедливо лишь для Марковских процессов?

105. Можно ли утверждать, что: а) каждая стохастическая модель состояния однозначно определяет СП? б) каждый Марковский процесс порожден стохастической системой состояния? в) каждый МП однозначно определяет стохастическую модель состояния?

106. Как связаны между собой параметры уравнений Колмогорова и соответствующей стохастической модели состояния?

107. В систему обслуживания поступает в среднем две заявки в час. Считая входной поток простейшим, определить: а) среднее число заявок, поступающих в систему за 8 часов; б)вероятность того, что в течение одного часа поступит по крайней мере одна заявка.

108. В ресторан прибывает в среднем 20 посетителей в час. Считая поток посетителей простейшим и зная, что ресторан открывается в 1100, определите: а) вероятность того, что в 11.12 в ресторан придёт 20 посетителей при условии, что в 11.07 их было 18; б) вероятность того, что между 11.28 и 11.30 в ресторане окажется новый посетитель, если известно, что предшествующий посетитель прибыл в 11.25.

109. Система обслуживания представляет собой АТС, которая может обеспечить не более 3-х переговоров одновременно. Заявка – вызов, поступившая в тот момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает систему. В среднем на станции поступает 0.8 вызовов в минуту, а средняя продолжительность одних переговоров составляет 1.5 мин. Для стационарного функционирования системы необходимо определить: а) вероятности состояний системы; б) абсолютную и относительную пропускные способности; в) вероятность отказа; г) среднее число занятых каналов.

110. Автозаправочная станция имеет бензоколонку с площадкой, допускающей пребывание в очереди на заправку не более 3-х машин одновременно. Если в очереди уже 3 машины, то очередная машина, прибывшая на заправку, уезжает. В среднем на заправку прибывает одна автомашина в минуту. Для стационарного режима функционирования автозаправочной станции необходимо определить: а) вероятность отказа; б) абсолютную и относительную пропускные способности; в) среднее число автомашин в очереди на заправку; г) среднее число автомашин, находящихся на АЗС; д) среднее время ожидания в очереди; е) среднее время пребывания автомобиля на АЗС.

111. Внесём в условие задачи 87 изменения: АЗС располагает двумя бензоколонками; в среднем на АЗС прибывает две автомашины в минуту; в среднем время обслуживания – 2 автомашины в минуту. Решите задачу 88 с этими изменениями.

112. Рабочий обслуживает три однотипных станка. Каждый станок останавливается в среднем два раза в час, процедура наладки занимает в среднем 10 минут. В стационарном режиме функционирования системы нужно определить: а) вероятность занятости рабочего; б) абсолютную пропускную способность рабочего; в) среднее количество неисправных станков; г) среднюю относительную потерю производительности обслуживаемых станков за счёт неисправностей.