Рабочая программа учебной дисциплины Случайные процессы (стр. 4 )

3. Моменты случайной функции. Определение математического ожидания и дисперсии скалярного СП.

4. Определение математического ожидания и дисперсии векторного СП.

5. Свойства моментов второго порядка.

6. Белый шум.

7. Марковские процессы: определение, переходная вероятность марковского процесса, условия Чепмена - Колмогорова.

8. Гауссовские процессы: определение, задание гауссовского распределения с помощью характеристической функции.

9. Стационарные процессы: стационарность в узком смысле, стационарность в широком смысле, как связаны между собой эти понятия?

10. Процессы с некоррелированными приращениями (СПНРП): определение, описание СПНРП посредством функции k(t).

11. Процессы с независимыми приращениями (СПНП): определение, описание.

12. Пуассоновский процесс с параметром l. Является ли пуассоновский процесс СПНРП? Марковским? Что можно сказать о траектории пуассоновского процесса?

13. Винеровский процесс. Можно ли назвать винеровский процесс марковским? Процессом со стационарными приращениями?

14. Последовательности случайных величин (сл. вел.), сходимость в среднем квадратическом(с. к. сходимость).

15. Лемма Лоэва. Следствия.

16. Стохастический критерий Коши с. к. сходимости, непрерывность математического ожидания относительно с. к. сходимости.

17. С. к. непрерывность случайных функций: определение, необходимые и достаточные условия с. к. непрерывности. Является ли винеровский процесс с. к. непрерывным?

18. Пусть , - винеровский скалярный стандартный процесс. Доказать соотношение . Что можно сказать о реализациях винеровского процесса?

19. Дифференцирование случайных функций: определение производной с. ф., необходимые и достаточные условия дифференцируемости с. ф.

20. Вывести формулы для вычисления ,

.

21. Интегрируемость случайных функций: определение интеграла от с. ф., необходимое и достаточное условие интегрируемости с. ф., свойства с. к. интеграла.

22. Вывести формулы для вычисления , если Y(t) с. к. интеграл процесса X(t), tÎT, с весом g(t, T).

23. Частные случаи с. к. интеграла от процесса X(t): интеграл с переменным верхним пределом интегрирования, формула интегрирования по частям. Является ли с. к. интегрируемым винеровский процесс?

24. Стохастические дифференциальные уравнения первого типа.

25. Слабая с. к. сходимость и обобщенные случайные функции.

26. Белый шум как слабый с. к. предел последовательности с. к. интегрируемых функций. Интегралы, содержащие белый шум. Ковариационная функция такого интеграла.

27. Является ли СПНРП с. к. дифференцируемым? Слабо с. к. дифференцируемым? Является ли винеровский процесс с. к. дифференцируемым?

28. Эргодические СП: определение, необходимые и достаточные условия эргодичности СП.

29. Стохастический интеграл по скалярному СП: определение, необходимое и достаточное условие существования интеграла.

30. Обобщение понятия стохастического интеграла на случай n - мерного СП. Связь стохастического интеграла с с. к. интегралом.

31. Стохастический интеграл, как интеграл, содержащий белый шум. Какие процессы представимы в виде таких интегралов?

32. Стохастические интегралы от неслучайных функций векторного переменного. Необходимые о достаточные условия существования интеграла. Каноническое представление стохастического интеграла.

33. Интеграл Ито. Необходимые и достаточные условия существования интеграла Ито. Другие виды стохастических интегралов от случайных функций.

34. Формула Ито, дифференциал Ито.

35. Стохастические дифференциальные уравнения второго типа.

36. Определение стационарных случайных процессов. Некоторые их свойства.

37. Спектральные характеристики ССП - теорема Бохнера-Хинчина.

38.Стационарные СП с дискретным спектром. Использование рядов Фурье в спектральной теории ССП. Теорема Винера-Хинчина.

39. Стационарные СП с непрерывным спектром. Свойства спектральной плотности. Любой ли стационарный СП может быть представлен спектральным разложением?

40. Стационарный белый шум. Модели стационарного белого шума.

41. Линейные преобразования ССП: ортогональная стохастическая мера, частотная характеристика линейного преобразования.

42. Математическая модель линейного преобразователя ССП: однородные системы, передаточная функция, импульсная переходная функция.

43. Способы вычисления передаточной функции системы.

44. Вычисление вероятностных и спектральных характеристик процессов после их линейного преобразования методом частотных характеристик и методом, использующим импульсную переходную функцию.

45. Марковские цепи: основные определения, классификация состояний, периодичность состояний, возвратность, финальные вероятности.

46. Марковские процессы с дискретными состояниями: основные свойства, уравнения Колмогорова, финальные вероятности.

47. Процесс гибели - размножения.

48. Стохастические модели состояния. Требования к процессу случайных возмущений. Любой ли СП можно полагать в качестве процесса случайных возмущений?

49. Линейные стохастические модели состояния.

50. Марковские процессы с непрерывными состояниями (непрерывные марковские процессы): свойства марковских переходных функций, уравнения Колмогорова, стохастические модели состояния и уравнения Колмогорова

51. Элементы теории массового обслуживания, основные определения: простейший поток, его свойства, время ожидания и время обслуживания.

52. Некоторые типы марковских моделей систем массового обслуживания: системы обслуживания с ожиданием, система уравнений Колмогорова.

53. Стационарный режим функционирования (общие соотношения), вывод основных показателей, определяющих качество работы систем.

54. Чистые системы массового обслуживания с ожиданием.

55. Системы обслуживания с отказами.

56. Системы обслуживания с ограниченной длиной очереди.

57. Замкнутые системы обслуживания.

Задачи для практических занятий и к экзаменам по курсу случайных процессов

1. Построить семейство реализаций скалярного случайного процесса X(t)=(1+t2)-1u, t Î T, u – скалярная сл. величина, распределенная по закону Пуассона с параметром l=0.5.

2. Для СП из задачи 1 определить математическое ожидание и дисперсию.

3. Определить математическое ожидание, дисперсию и ковариационную функцию СП X(t)=2usinαt+3vt2+5, tÎ T, где α - известный неслучайный параметр, а u и v – сл. величины с известными числовыми характеристиками Mu=1, Mv=2, Du=0.1, Dv=0.9, r(u, v)=-0.3.

4. Пусть u=(u1,u2)T, . Найти математическое ожидание, дисперсию и ковариационную функцию СП X(t)=u1cost + u2sint, tÎ T.

5. Найти математическое ожидание, дисперсию, ковариационную функцию и одномерный закон распределения СП X(t)=at + bt2, tÎТ=[0, ¥), a и b - независимые сл. величины, распределенные по нормальному закону с нулевыми математическими ожиданиями и равными дисперсиями s2=0.25.

6.Найти ковариационную функцию и дисперсию СП если nk – известные неслучайные параметры, некоррелированные сл. величины ak и bk имеют нулевые математические ожидания и равные дисперсии

7. Найти взаимную ковариационную функции случайных процессов X(t)=asinnt + bcosnt, tÎT и Y(t)=asinnt + gcosnt, tÎT, если n - известный неслучайный параметр, а сл. величины a, b, g являются попарно некоррелированными.

8. СП X(t) представляет собой гармоническое колебание X(t)=Acos(wt+ψ), tÎT, где w - неслучайный параметр, А>0 – случайная амплитуда с плотностью вероятностей fA(a) при a>0 и fA(a)=0 при a£0, ψ независимая от А сл. величина, равномерно распределенная на отрезке [-p, p]. Найти одномерную плотность f(x, t) СП X(t).

9. Пусть X(t)ºX " tÎR, причем X подчиняется показательному распределению с параметром l=2. Найти mx(t), Dx(t), F(x1t1; x2t2).

10.Пусть X(t)=Vt+b, где V – сл. величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с параметрами m, σ, b – неслучайная константа. Найти mx(t), Kx(t1, t2), Dx(t), f(x, t).

11. Случайная функция X(t) задана в виде , где - независимые с. в. непрерывного типа с плотностями распределений вероятностей соответственно. Найти одномерное распределение СП X(t),

12., и сл. величина . Найти одномерную функцию распределения и одномерную плотность процесса X(t).

13.Случайное гармоническое колебание задано в виде , где ω - неслучайная частота, а случайные амплитуды A и B независимы и подчиняются каждая закону распределения . Найти одномерную и двумерную плотности процесса.

14. Пусть α, β - скалярные сл. величины с числовыми характеристиками Определить математическое ожидание и ковариационную функцию случайного процесса постоянна.