Рабочая программа учебной дисциплины Случайные процессы (стр. 5 )

15.Известна ковариационная функция процесса Найти Ky(t1,t2), если

16. Пусть СП X(t), tÎT, задан в виде X(t)=j(t, Y), tÎT, Y – сл. величина с известной плотностью распределения fY(y). Записать выражения для mx(t), Kx(t1, t2), Dx(t).

17. Пусть X(t)=acos(wt + ψ), где a и w - известные константы, tÎT, ψ - сл. величина равномерно распределенная на отрезке [-p, p]. Найти mx(t), Kx(t1, t2), Dx(t), f(x, t).

18. Телеграфным сигналом называется СП X(t), который с равной вероятностью может принимать лишь значения +1 и –1, причем число перемен знака за время t= t2 - t1 не зависит от предыстории процесса до момента t1 и представляет собой пуассоновский процесс N(t) c параметром l. Найти Kx(t1, t2).

19. Найти вероятность того, что за время t произойдет четное число скачков, если речь идет о СП N(t) c параметром l.

20. Показать, что СП, являющийся линейной комбинацией нормальных процессов, является нормальным процессом. В частности, найти характеристики нормального процесса Z(t)=aX(t) + bY(t), где X и Y нормальные процессы с характеристиками mx(t)= t, my(t)=1+t2;

21. Определите n - мерный закон распределения пуассоновского процесса.

22. Найти математическое ожидание и KN(t1, t2) пуассоновского процесса с параметром l.

23. СП X(t) – величина интервала времени между двумя последовательными скачками пуассоновского процесса N(t) с параметром l. Найти f(x, t).

24.Является ли винероваский процесс гауссовским? Марковским?

25. Какими общими свойствами обладают винеровский и пуассоновский процессы?

26. Докажите, что пуассоновский процесс является марковским.

27. Пусть X(t), tÎT,– нормальный стационарный СП. Найти одномерный закон распределения процесса f(x, t) и двумерный -

28. Пусть X(t), Y(t), tÎT, винеровские процессы, исходящие из нуля. Найти их совместный закон распределения при каждом фиксированном tÎT.

29.Пусть X(t)=(X1(t), X2(t))T, tÎT,– двумерный винеровский процесс, исходящий из нуля. Пусть [a, b] Ì T и -некоторое разбиение отрезка [a, b] . Доказать, что существует ,где .

30. Можно ли утверждать, что предел сл. функции обладает обычными свойствами предела неслучайной функции?

31. Можно ли утверждать, что предел последовательности сл. величин обладает обычными свойствами предела последовательности?

32. Пусть - некоррелированные сл. величины и n=1,2… Доказать, что последовательность сл. величин с. к. сходится тогда и только тогда, когда одновременно сходятся числовые ряды .

33. Пусть скалярные СП, причем . Доказать, что

34. Доказать, что линейная комбинация и произведение с. к. непрерывных на T скалярных СП – с. к. непрерывные на T скалярные СП.

35. Является ли с. к. дифференцируемым винеровский процесс?

36.Доказать, что СП X(t), tÎT, X(t)=e-2t sin[t + j], где j - сл. величина, имеющая равномерное распределение на [0, 2p], дифференцируем на T.

37.Является ли СП X(t), tÎT=[0, ¥), эргодическим по отношению к математическому ожиданию, если где X0 – двумерный СП, распределенный по нормальному закону с параметрами и матрицей .

38. Пусть X(t), tÎT, – с. к. дифференцируемый на T скалярный СП, имеющий постоянное математическое ожидание и ковариационную функцию . Пусть a > 0 и tÎT. Найти Ky(t1, t2), определить ее наибольшее значение. Будет ли СП Y(t), tÎT, эргодическим по отношению к его математическому ожиданию?

39. Будет ли с. к. дифференцируемым и с. к. непрерывным пуассоновский процесс?

40. Пусть СП задан соотношением X(t) = ncoswt, где n - сл. величина с mn=2, sn=3. Найти my(t), Ky(t1, t2), Dy(t), если

41. Пусть X(t), tÎT, – СП с mx(t)=3t2 + 2t + 1 и Найти my(t), Ky(t1,t2), если Y(t)=t X`(t) + t2.

42. СП X(t), tÎT, задан выражением X(t)=Veatcoswt, где V – сл. величина с mv=2, sv=3. Найти my(t), Ky(t1,t2), если , где a, b, g, w - постоянные.

43. Сколько раз дифференцируем СП X(t) с Kx(t1, t2) , имеющей вид: а) б) Записать Kx``(t1, t2), если она существует, найти дисперсию Dx``(t).

44. Найти my(t), Ky(t1, t2), Dy(t), если Y(t)=X´ (t), tÎT, и X(t)=2 + t + at2 + bt3, tÎT, a, b - некоррелированные сл. величины с Ma=Mb=0, Da=Db=0.1.

45. Найти my(t), Ky(t1, t2), Dy(t), если Y(t)=X´(t), tÎT, .

46. Пусть X(t) – СП с известными математическим ожиданием mx(t) и ковариационной функцией Kx(t1, t2), tÎT. Найти my(t), , если Y(t)=X(t) + X´ (t), tÎT.

47. Доказать, что производная от гауссовского процесса – гауссовский процесс.

48. Найти my(t), Ky(t1, t2), Dy(t), если mx(t)=0.2cos2nt, Kx(t1, t2)=0.4cosnt1cosnt2 и n - известная константа/

49. Пусть X(t), tÎT=[0, ¥), – с. к. интегрируемый на T скалярный СП с известной ковариационной функцией Kx(t1, t2). Найти , если , tÎT.

50. Найдите дисперсию СП X(t), , если , и - скалярный нормальный процесс с нулевым МО и ковариационной функцией - неслучайные параметры, .

51. Ковариационная функция СП X(t) имеет вид . Найти , если , также , если .

52. Найти МО и дисперсию стохастического интеграла по стандартному винеровскому процессу W(t), a > 0 – параметр.

53. Найти математическое ожидание и дисперсию интеграла

54. Найти дисперсию стохастического интеграла где X(t),tÎT=[0,∞), - скалярный СП, mx(t)=сt, c, a, b - неслучайные параметры.

55. Докажите, что из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле.

56. Пусть - скалярный нормальный стационарный в узком смысле случайный процесс. Найдите одномерную и двумерную функции плотности вероятностей этого СП.

57. Является ли с. к. дифференцируемым стационарный СП X(t), tÎT, имеющий ковариационную функцию ?

58. Пусть X(t), tÎT, – СП, стационарный в широком смысле, с. к. дифференцируемый на T. Является ли стационарным в широком смысле СП X´ (t), tÎT?