Строительная механика (стр. 10 )

Затем определяем поперечные силы по каждому участку:

Пример 2. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для однопролетной балки, показанной на рис. 4.

Запишем уравнение трех моментов (8) при n = 1:

или где

Затем находим

и строим эпюры M и Q (рис. 4).

Л е к ц и я 16

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ В НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛКАХ

Для построения линий влияния нужно, чтобы сила Р = 1 прошла по всем пролетам балки. В определенный момент времени эта единичная сила будет находиться в одном пролете, а все остальные пролеты будут оставаться незагруженными. Если загружен один пролет неразрезной балки, то эпюра моментов имеет вид, показанный на рис. 1.

Введем новые понятия. Абсолютная величина отношения Мn/Мn-1 n–го незагруженного пролета при загрузке одного из правых пролетов называется левым моментным фокусным отношением n–го пролета, то есть

(1)

Абсолютная величина отношения Мn-1/Мn n–го незагруженного пролета при загрузке одного из левых пролетов называется правым моментным фокусным отношением n–го пролета, то есть

(2)

Рассмотрим два смежных пролета при загрузке одного из правых пролетов (рис. 2). Запишем уравнение трех моментов (7) из лекции 15 для пролетов n – 1 и n:

Разделив полученное уравнение на Мn-1, будем иметь

, или

откуда

(3)

Формула (3) представляет собой рекурентную формулу для определения левого моментного фокусного отношения n–го пролета (kn), если известно фокусное отношение (n – 1)-го пролета (kn-1).

Аналогично, рассматривая n и n + 1 пролеты, можно получить рекурентную формулу для определения правого моментного фокусного отношения

(4)

На рис. 3 даны примеры определения левых фокусных отношений.

Составим уравнения трех моментов (см. формулу (7) лекции 15) для пролетов n – 1 и n и для пролетов n, n + 1 (рис. 4):

(5)

Принимая во внимание, что

получим уравнения (5) в виде откуда

(6)

Рассмотрим пролет неразрезной балки, в котором находится единичная сила Р = 1 (рис. 5). Опорные моменты будем находить по формулам (6), где фиктивные опорные реакции и определим из уравнений равновесия ΣMn-1 = 0 и ΣMn = 0 в виде

(7)

Подставляя формулы (7) в выражения для определения опорных моментов (6), получим

(8)

В таблице 1 даны значения α(u) и β(u) при делении пролета на 10 частей.

Пример. Построить линию влияния опорного момента М2 для трехпролетной балки постоянного сечения (рис. 6).

Таблица 1

u	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
α(u)	0,171	0,288	0,357	0,384	0,375	0,336	0,273	0,192	0,099
β(u)	0,099	0,192	0,273	0,336	0,375	0,384	0,357	0,288	0,171

Определим моментные фокусные отношения по формулам (1) и (2) или (3) и (4):

Разбиваем каждый пролет балки на десять частей и составляем расчетную таблицу 2. Таблица составлена следующим образом.

Груз в 1-ом пролете:

Груз во 2-ом пролете:

Груз в 3-ем пролете:

Груз на консоли:

Опорный момент М3 вычисляется обычным способом. Например, при u = 0,1 имеем M3 = –P·ul= –1·0,1·1= –0,1; при u = 1: M3 = –P·ul= –1·1·1 = –1.

По аналогии строится линия влияния опорного момента М1 (рис. 6, в).

Рассмотрим построение линии влияния изгибающего момента Мх в произвольном сечении второго пролета. Считаем, что линии влияния М1 и М2 уже построены.

Таблица 2

u	Груз в 1-ом пролете: М2 = = –0,058[α(u) – 2β(u)]	Груз во 2-ом пролете: М2 = = 0,464[α(u) – 2,75β(u)]	Груз в 3-м пролете: M2 = –0,717α(u)	Груз на консоли М2 = –0,239М3
0,1 … 0,5 … 1	0,00157 ……. 0,0218 ……. 0,00	-0,047 ……. -0,304 ……. 0,00	-0,123 ……. -0,269 ……. 0,000	0,0239 ……. 0,1196 ……. 0,2390

Рассматривая только часть основной системы в виде простой балки (рис. 6, д), получаем на основании формул (9) лекции 15 при n = 2:

Линия влияния Мх показана на рис. 6, е. Она строится наложением трех линий влияния: – линии влияния от внешней нагрузки (Р = 1); линии влияния М1, увеличенной в (4 – х)/4 раз, и линии влияния М2, увеличенной в х/4 раз.

На основании формул (9) лекции 15 при n = 2 имеем

и строим линию влияния поперечной силы в сечении х = сonst второго пролета (рис. 6, ж).

Линии влияния опорных реакций Rn строятся по формуле:

(9)

Линия влияния опорной реакции R2 показана на рис. 6, з.

Л е к ц и я 17

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ

Усилия в статически неопределимых системах зависят от соотношений в размерах поперечных сечений. Важно обоснованно задаться размерами поперечных сечений. Для этого и служат приближенные методы расчета. Приближенными называют такие методы расчета, при применении которых вводятся больше упрощений, чем в классических методах расчета. Дополнительные допущения дают возможность сократить объем вычислений и исключить решение систем канонических уравнений.