Строительная механика (стр. 6 )

Строим единичные эпюры и (рис. 2, б, в) от приложенной в точке В в направлении искомого перемещения единичной силы Р = 1. Затем определяем площади единичных эпюр:

для ригеля: = ab/2, = 1·a = a; для стойки: = b2/2, = b2/a.

Определяем температурные параметры:

для ригеля: t1 = 40о, t2 = 10о; для стойки t1 = 20о, t2 = 10о.

По формуле (3) находим:

= α(–150b – 35b2/a + 25a).

Знак (+) нужно поставить перед членом с , так как изменение температуры вызывает удлинение стойки и ригеля, также как и действие единичной (рис. 2, в). Перед членом с стоит знак (-), так как температурное воздействие вызывает удлинение внешних волокон ригеля и стойки (рис. 2, а), а изгибающий момент от действия единичной силы Р = 1, наоборот, вызывает укорочение внешних волокон (рис. 2, б).

При определении перемещений от действия на сооружение температуры нельзя пренебрегать членом формулы, зависящим от продольной силы.

Определение перемещений от осадки опор

Осадки опор могут быть случайными (просадки грунта, оползень, размыв грунта) при отсутствии нагрузки на сооружение или могут возникать под действием нагрузки в результате податливости основания.

Перемещения от случайных осадок опор

Пусть шарнирно подвижная опора рамы, изображенной на рис. 3, а, переместилась вертикально на величину Δ. Определим вертикальное перемещение точки k. Для этого создадим единичное состояние данной системы и в направлении искомого перемещения Δk приложим силу Р = 1 (рис. 3, б). Опорную реакцию, возникающую в том же опорном стержне, переместившимся вертикально на величину Δ, обозначим через R. Составим уравнение равновесия (рис. 3, б):

ΣМА = P·l – R·2l = 0,

и находим опорную реакцию R = 1/2.

На основании теоремы о взаимности работ для двух состояний, показанных на рис. 3, а, б, составим условие:

W12 = W21, или 0 = (PΔk – R Δ),

откуда находим

Δk = R Δ = Δ/2.

Работа сил первого состояния на перемещениях второго состояния W12 = 0, так как сил в первом состоянии нет. Второе слагаемое правой части формулы Бетти взято с отрицательным знаком, так как направление силы R и перемещения Δ не совпадают.

При перемещениях опор статически определимого сооружения по направлениям опорных закреплений внутренние усилия в сооружении не возникают.

Таким образом, для определения перемещения или угла поворота, возникающего в статически определимом сооружении от смещения его опор в направлении опорных закреплений, необходимо:

1)  выбрать единичное состояние сооружения, считая смещающуюся опору неподвижной,

2)  загрузить сооружение в направлении искомого перемещения единичной силой или моментом,

3)  определить реакции в тех опорных связях единичного состояния, которые по условию задачи смещаются,

4)  составить выражение работы сил единичного состояния на перемещениях действительного и приравнять эту работу нулю,

5)  решить полученное уравнение относительно искомого перемещения.

Перемещения от нагрузки, вызывающей упругие осадки

Пусть под действием нагрузки q трехшарнирная рама получает равные вертикальные осадки опор Δ = V/ko (рис. 4, а), где ko – коэффициент оседания опоры (или жесткость упругого основания, Н/м, которая численно равна силе, вызывающей единичное смещение). Найдем вертикальное перемещение шарнира С, учитывая только влияние изгибающих моментов МF (рис. 4, б). Приложим единичную силу Р = 1 в шарнире С по направлению искомого перемещения и строим единичную эпюру (рис. 4, в).

Применим теорему о взаимности работ (W12 = W21):

откуда находим

Л е к ц и я 12

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ

ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ

Статически неопределимые плоские стержневые системы

Статически неопределимой стержневой системой называется такая геометрически неизменяемая стержневая система, в которой некоторые реакции связей и усилия М, N, Q не могут быть определены с помощью уравнений статики, а определяются из дополнительных уравнений неразрывности деформаций.

Связи по своему значению могут быть абсолютно необходимые и условно необходимые или лишние. При удалении абсолютно необходимых связей система становится геометрически изменяемой. При удалении лишний связей система сохраняет геометрическую неизменяемость.

Свойства статически неопределимых систем

1. Усилия в них возникают от внешней нагрузки, от изменения температуры, смещения опорных или других сечений, неточности сборки и усадки материала.

2. Усилия в статически неопределимых системах зависят от геометрических размеров поперечных сечений и свойств материала (от Е, G).

3. После удаления n лишних связей n раз статически неопределимая система сохраняет свою геометрическую неизменяемость.

Расчет статически неопределимых плоских стержневых систем

методом сил

При расчете по методу сил за неизвестные параметры необходимо принимать реакции связей или внутренние усилия в определенных сечениях стержневой системы. В этом случае степень статической неопределимости, то есть число лишних связей Л определяется по формуле:

Л = 3Ку – Шз, (1)

где Ку – число условных замкнутых контуров, Шз – число простых шарниров между дисками, включая землю. Примеры подсчета лишних связей приведены на рис. 1.

После определения степени статической неопределимости выбирается основная система, которая кладется в основу дальнейшего расчета. Основная система должна быть статически определимой. Для этого разрезают все лишние связи, а отброшенные связи заменяют реакциями Хi (рис. 2).

Затем записываются условия, что перемещения в направлении отброшенных связей равны нулю или пропорциональны реакциям связи соответственно для жестких или упругих связей. Таким образом, при n лишних неизвестных Х1, Х2, …, Хn получают систему n уравнений с n неизвестными:

δ11Х1 + δ12Х2 + … + δ1nХn + Δ1F = 0,

δ21Х1 + δ22Х2 + … + δ2nХn + Δ2F = 0,

δ31Х1 + δ32Х2 + … + δ3nХn + Δ3F = 0,

……………………………………..,

δn1Х1 + δn2Х2 + … + δnnХn + ΔnF = 0, (2)

где согласно сокращенного интеграла Мора, имеем

(3)

Система уравнений (2) называется каноническими уравнениями метода сил. Например, первое уравнение системы уравнений (2) показывает, что перемещение точки основной системы, где приложена неизвестная сила Х1, в направлении этой силы должно быть равно нулю. В этом уравнении δ11 – перемещение в направлении силы Х1 от силы Х1 = 1; δ12 – перемещение в направлении силы Х1 от силы Х2 = 1; δ1n – перемещение в направлении силы Х1 от силы Хn = 1; Δ1F – перемещение в направлении силы Х1 от внешней нагрузки.

Решая канонические уравнения (2), определяем неизвестные усилия и реакции Х1, Х2, …, Хn, после чего строятся эпюры М, N, Q, определяются необходимые перемещения и деформации.

Пример. Построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и нормальных сил для рамы, изображенной на рис. 3, а.

Имеем Л = 1. Рама один раз статически неопределима. Записываем каноническое уравнение: