Строительная механика (стр. 11 )

Консольный метод (расчет на горизонтальную нагрузку)

Метод дает быстрое решение с возможной ошибкой 100 – 200%. Применяется для предварительного определения сечений.

Малопролетная высокая рама заменяется консольной балкой, нагруженной узловой горизонтальной нагрузкой. Усилия в стойках определяются по формуле:

(1)

где М – изгибающий момент, как в консольной балке, для сечения, проведенного через середины стоек (рис. 1, б); уi – расстояние от нейтральной оси до оси стоек (рис. 1, в); Ai – площадь поперечного сечения стойки;

– момент инерции сечения рамы (рис. 1).

Нулевые точки в эпюре изгибающих моментов рамы располагают в середине пролетов ригелей и высот стоек (рис. 1, а). На первом этаже нулевую точку в эпюре изгибающих моментов располагают на расстоянии 2h/3 от нижней заделки. Относительно этой же точки определяется М для формулы (1).

Получив значения в стойках, из условия равновесия определяют поперечные и нормальные силы в ригелях и строят эпюры М, N, Q.

Пример 1. Рассчитать консольным методом двухпролетную трехэтажную раму, показанную на рис. 2. Рама имеет одинаковое поперечное сечение для всех стоек (Ai = A).

Определяем положение нейтральной оси:

Вычисляем момент инерции сечений стоек относительно нейтральной оси z, пренебрегая моментами инерций сечений стоек относительно местных осей zi: Iz = I = ΣIzi + ΣAi ΣAi = A(52 +12 +42) = 42A.

Усилия в стойках находим по формуле (1):

Откладываем эти значения на эпюре N (рис. 2, в).

На эпюре М отмечаем нулевые точки. Вырезаем узел В. Действие отброшенной части заменяем внутренними усилиями (рис. 3, а).

Из рассмотрения рис. 3, а находим QP3 = –N13 = –4,76 кН; а из условия MC =Q13·2 – N13·3 = 0 находим Q13 = 7,14 кН. Тогда Σx = NP3 – Q13 + 20 = 0 и NP3 = Q13 – 20 = –12,86 кН. Далее определяем MB = Q13 ·2 = 14,28 кН. Откладываем это значение изгибающего момента в узле В.

Проводим прямую линию через полученные точки и нулевые точки (рис. 2, б) ригеля Р3 и стойки 13. Затем, рассматривая узел Д, определяем QP6 = –3,81 кН; Q33 = 2,86 кН; NP6 = –2,86 кН; МД = Q33·2 = 5,72 кН·м.

Рассматривая равновесие узла Е рамы (рис. 2, а), находим Q23 = 10 кН; моменты на концах средней стойки М = 14,28 + 5,72 = 20 кН·м.

Узел, показанный на рис. 3, б, должен находиться в равновесии. Следовательно, Σу = N13 – N12 – QP2 = 0, тогда QP2 = –9,53 кН.

Из условия, что точка К – нулевая точка, имеем

MK = Q13·4 + QP2 ·3 +NP2 ·2 = 0,

откуда находим нор-мальную силу

NP2 = 0.

Поперечная сила Q13 = 7,14 кН была определена ранее.

Затем из рис. 3, б определяем попереч-ную силу Q12:

Q13 = Q12 = 7,14 кН.

Продолжая вычисления аналогичным образом, строим эпюры изгибающих моментов М, нормальных N и поперечных Q сил (рис. 2, б, в, г).

Метод моментных нулевых точек (расчет на горизонтальную нагрузку)

Этот метод более точен по сравнению с консольным методом.

В основе метода лежат следующие допущения:

1.  Ветровая нагрузка, распределенная непрерывно по высоте рамы, заменяется узловой.

2.  Нулевые моментные точки принимаются посередине высот стоек, для стоек первого этажа – на расстоянии 2hэт /3 от нижней заделки.

3.  Сумма вышележащих горизонтальных сил для каждого этажа распределяется по стойкам пропорционально отношению моментов инерции стоек и кубу их высоты hn:

(2)

где ; ΣF – сумма вышележащих горизонтальных сил.

4.  Построив эпюры моментов в стойках, строят эпюры в ригелях.

Изгибающие моменты в ригелях у крайних узлов определяются из условий равновесия узлов. У средних узлов рамы сумму моментов в примыкающих к узлу стойках распределяют по смежным пролетам ригеля пропорционально их погонным жесткостям.

Пример 2. Рассмотрим верхний этаж рамы, изображенной на рис. 2. Пусть все стойки этажа имеют одну высоту h и одинаковый момент инерции I (рис. 4, а).

Для верхнего этажа имеем

Cn = C13 = C23 = C33 = I / h3; ΣF = 20 кН; ΣCi = 3Cn = 3I / h3, тогда

Эти значения поперечных сил откладываем на эпюре Q (рис. 4, в).

Прикладывая поперечные силы в нулевых точках соответствующих стоек, определяем изгибающие моменты в стойках (рис. 5, а).

Рассматривая равновесие узлов В и Д, определяем изгибающие моменты в ригелях в этих точках (рис. 5, а). Затем вырезаем узел Е (рис. 5, б). Известный изгибающий момент в стойке 23 равный 13,34 кН·м распределяем по ригелям Р 3 и Р 6 пропорционально их погонным жесткостям iPn:

где lPn – длины ригелей. Тогда iP3 = 2I / 6 = I / 3; iP6 = 2I / 3 или iP6 / iP3 = 2.

В этом случае МЕД = 2МЕВ, но МЕД + МЕВ = 13,34 кН·м, откуда

МЕВ = 4,45 кН·м, а МЕД = 8,9 кН·м.

Зная изгибающие моменты в ригелях, находим соответствующие поперечные силы в этих же ригелях

При определении поперечных сил применялось правило знаков для поперечных сил.

Затем можно найти нормальные силы NP6 и N23 из условий равновесия узла Е (рис. 5, б):

По аналогии рассматриваем нижележащие этажи рамы.

Метод распределения моментов

(1929 г.) – Х. Кросса (1932 г.)

Этот метод является методом последовательных приближений. В процессе расчета постепенно проводится устранение противоречий между основной и заданной системами.

При расчете необходимо соблюдать следующий порядок расчета:

1. 
Заданная рама (рис. 6, а) путем введения подвижной заделки во все жесткие узлы превращается в систему отдельных стержней – основную систему (рис. 6, б).

2.  Во всех стержнях основной системы строятся эпюры моментов от внешней нагрузки. При этом условия равновесия ΣMn = 0 для каждого узла рамы, где n – число узлов рамы, не будут выполняться (рис. 6, б).

3.  Вычисляется неуравновешенный момент Ri в каждом узле, приложив который можно добиться равновесия узла. Например, для рис. 6, б имеем R2 = –Fl / 8; R3 = Fl / 8 – ql2/ 12; R4 = ql2 / 12.

Неуравновешенный момент, стремящийся повернуть узел по ходу часовой стрелки, будем считать положительным.

4.  Для всех стержней определяются коэффициенты распределения

(3)

где m – число жестко соединенных в рассматриваемом i– ом узле стержней.

Погонные жесткости находим как

– для введенной упругой заделки;

– для шарнирного закрепления;

– для неподвижной заделки.

Например, для стержней узла 2 (рис. 6, б) имеем

По формуле (3) находим:

5.  Освобождаем от защемления узел n, к которому приложен неуравновешенный момент Rn и распределяем этот момент по стержням, сходящимся в узле n, пропорционально коэффициентам распределения μij.

Опорные моменты, уравновешивающие момент Rn находим как

Mnj = μnj Rn.

Например, для узла 2 (рис. 6, б) получаем

6.  Одновременно с уравновешивающими моментами (в освобожденном узле) на противоположных концах возникнут вторичные моменты защемления с обратным знаком (рис. 6, в) по сравнению с Мij. Для нашего случая (рис. 6, в): М*32 = –М23 / 2; М*52 = –М25 / 2 и т. д.

7.  После распределения моментов в узле n накладывают на него защемление и переходят к соседнему узлу (например, узел 3 на рис. 6, б). В этом узле повторяется операция, то есть распределяют неуравновешенный момент R3 и вторичный момент М*32, пришедший от уравновешивания узла 2.

Распределив указанным способом моменты во всех узлах, получают первый цикл распределения. Циклы распределения повторяются до тех пор, пока неуравновешенные моменты, действующие на защемление, будут столь малы, что устранение защемлений из всех узлов не повлечет за собой практически существенных дополнительных моментов. Обычно бывает достаточно 3-4 циклов.

Лозера (расчет на вертикальную нагрузку)

Сложная рама разбивается на более простые статически неопределимые рамы (рис. 7). Выделенные более простые рамы рассчитываются с применением фокусных отношений и с использованием для загруженного пролета формул (6) лекции 16.

После определения всех изгибающих моментов в узлах выделенной схемы переходят последовательно к рассмотрению остальных систем. Окончательную эпюру моментов получают суммированием эпюр, построенных для отдельных систем.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.  , Строительная механика. – М.: «Высшая школа», 1986. – 608 с.

2.  Строительная механика. – М.: «Высшая школа», 1980. – 432 с.

3.  Конспект лекций по строительной механике. – Часть 1. – М.: изд. УДН, 1966. – 135 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Лекция 1. Лекция 2. Лекция 3. Лекция 4. Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Лекция 9. Лекция 10. Лекция 11. Лекция 12. Лекция 13. Лекция 14. Лекция 15. Лекция 16. Лекция 17.

Основные понятия и положения. Кинематический анализ сооружений. Расчет статически определимых сооружений……………………………………. Учет подвижной статической нагрузки. Загрузка линий влияния….………………………… Линии влияния при узловом действии нагрузки…….……..………………………………… Плоские статически определимые фермы.………. Построение линий влияния усилий в стержнях ферм…………………………………………………. Расчет шпренгельных ферм………….……………. Статически определимые арки……. ……………... Основные теоремы об упругих линейно-деформируемых системах…….…………. Определение перемещений. Интеграл Мора. ……. Определение перемещения сечения стержня плоской статически определимой стержневой системы при действии внешней нагрузки………... Определение перемещений сечения стержня плоской статически определимой стержневой системы при действии температурных воздействий и при смещении опор……………...… Расчет статически неопределимых плоских стержневых систем методом сил………………….. Группировка неизвестных при расчете симметричных статически неопределимых рам. Расчет статически неопределимых систем на действие температуры. Расчет статически неопределимых систем на перемещение опор. Определение перемещений в статически неопределимых системах………………………….. Статически неопределимые арки………………….. Неразрезные балки…………………………………. Построение линий влияния в неразрезных балках. Приближенные методы расчета статически неопределимых рам…………………………………

3 7 11 14 17 19 21 23 26 28 30 34 39 43 48 52 57