Строительная механика (стр. 9 )

Распор в двухшарнирной арке с затяжкой будет всегда меньше, чем распор в двухшарнирной арке, так как знаменатель формулы (14) всегда будет больше знаменателя формулы (2).

Бесшарнирные арки

Бесшарнирная арка – трижды статически неопределима (рис. 3, а). Рассмотрим расчет симметричной арки. За основную систему можно принять любую из показанных на рис. 3, б, в, г. Как будет установлено в дальнейшем, основная система, изображенная на рис. 3, г, является лучшей. В этой системе используется невесомые и абсолютно жесткие консоли длиной с. Так как из условия равновесия Х1 = Н, то неизвестное Х1 называют распором.

Система канонических уравнений метода сил примет вид:

(15)

Моменты и в произвольном сечении арки можно представить в виде:

(рис. 3, д, е).

Подберем длину консоли с так, чтобы δ12 было равно нулю, то есть

где s – вся дина арки. Принимая во внимание симметрию арки, запишем

откуда определяем длину жесткой консоли:

(16)

Таким образом, принимая длину жесткой консоли с по формуле (16), мы будем получать δ12 = δ21 =0 и тогда система уравнений (15) еще более упростится и примет вид:

(17)

Влиянием и NF, QF пренебрегаем. Тогда

(18)

(19)

Подставляя выражения (18), (19), определяемые точным или приближенным интегрированием, в канонические уравнения (17), находим лишние неизвестные Х1, Х2 и Х3. Затем переходим к вычислению усилий в произвольном сечении арки и построению соответствующих эпюр.

Пример. Рассчитать бесшарнирную круговую арку постоянного поперечного се-чения на гидростатическую нагрузку (рис. 4, а).

Согласно рис. 4, а и рис. 4, в имеем: dy = dssinφ;

dx = dscosφ; x = rsinφ;

y = r – rcosφ; ds = rdφ;

sinα = l/(2r); cosα = (r – f) / r;

qx = qdssinφ = qdy;

qy = qdscosφ = qdx.

По формуле (16) находим

.

Формулы (18) дают:

Подставляя полученные параметры в формулы (18), (19), находим необходимые коэффициенты, например,

А затем из формул (17) определяем неизвестные Х1, Х2 и Х3 = 0.

Л е к ц и я 15

НЕРАЗРЕЗНЫЕ БАЛКИ

Неразрезной балкой называется брус, который перекрывает два или более пролетов (рис. 1).

Число лишних неизвестных подсчитывается по формуле:

Л = –W = Co – 3D = Co – 3. (1)

В качестве основной системы выберем совокупность однопролетных шарнирно опертых балок с неизвестными опорными моментами.

Запишем систему канонических уравнений:

(2)

где k – общее число отброшенных связей.

Из рассмотрения единичных эпюр следует, что в каждое из канонических уравнений (2) будет входить по три неизвестных, только в первое и последнее – по два неизвестных:

(3)

Перемещения δij будем подсчитывать по формуле:

(4)

то есть, пользуясь правилом Верещагина, получим

(5)

где Ωn и Ωn+1 – площади эпюр моментов в n–й и (n + 1)–й однопролетных балках от внешней нагрузки. а an и bn+1 – расстояния от центров тяжести этих эпюр до (n – 1)- й и (n + 1)-й опор соответственно. Параметр представляют собой правую фиктивную опорную реакцию в n–м пролете при загружении его распределенной нагрузкой в виде эпюры моментов в n–й однопролетной балке, а– левая фиктивная опорная реакция в (n+1)-м пролете при загрузке его распределенной нагрузкой в виде эпюры моментов этой однопролетной балки.

Подставляя значения коэффициентов (5) в канонические уравнения (3), запишем

(6)

Чтобы подчеркнуть, что за неизвестные Хi приняты опорные моменты Мi, в дальнейшем будем вместо Хi писать Мi. Кроме того, умножим уравнение (6) на 6ЕI, тогда

Окончательно запишем:

(7)

где и - приведенные пролеты,

I – момент инерции поперечного сечения любого пролета.

Уравнение трех моментов (7) или уравнение Клайперона было выведено в 1857 году. Если моменты инерции в пролетах – постоянные, то уравнение (7) принимает вид:

(8)

После определения неизвестных опорных моментов строят эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, используя формулы

(9)

Прогибы в неразрезной балке n–го пролета определяют как в однопролетной балке при наличии опорных моментов Мn–1, Мn и заданной пролетной нагрузки.

Пример 1 (рис. 3). Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для трехпролетной неразрезной балки постоянного поперечного сечения.

Запишем уравнения трех моментов (8) для рассматриваемой балки:

n = 1:

n = 2:

Учитывая, что М0 = М3 = 0, а также, что запишем два вышеприведенных уравнения как

где Окончательно имеем:

Решая полученные два уравнения, находим: