Строительная механика (стр. 7 )

откуда определяем

Вычисляем коэффициенты канонического уравнения:

а затем находим величину горизонтальной опорной реакции Х1 = 0,6 кН.

Теперь можно приступить к построению эпюры изгибающих моментов (рис. 3, б), используя формулу

Определив остальные опорные реакции, строим эпюры поперечных (рис. 3, в) и нормальных (рис. 3, г) сил.

Поверка правильности эпюр М, Q, N

Статическая проверка

Для всей рамы в целом, ее узлов и отдельных, произвольно выделенных частей рамы, должны выполняться условия статического равновесия.

Например, для рамы, изображенной на рис. 3, а, согласно проведенного расчета получены опорные реакции VA = VB = F / 2 и H = 0,6 кН (рис. 3, д), следовательно:

Σy = VA + VB – F = 0, Σx = H – H = 0.

Проводим сечение I – I, отбросим левую часть рамы (рис. 3, д), а действие отброшенной части заменим соответствующими значениями М, N, Q, взятыми из эпюр М, N, Q. Для оставшейся части составим уравнения равновесия:

Σy = 5,5 + VB – 11 = 0; Σx = 0,6 – Н = 0; ΣМ0 = – 3 + F·2 + Н·5 – VB ·4 = 0.

Проверка подтвердила правильность полученных результатов.

Деформационная проверка

На рис. 3, а, д показана один раз статически неопределимая рама. Окончательная эпюра изгибающих моментов для этой рамы приведена на рис. 3, б. Очевидно, что горизонтальное перемещение точки В (правой опоры рамы) должно быть равно нулю. Чтобы проверить это, необходимо перемножить две эпюры и М:

Таким образом, деформационная проверка в общем случае проводится в следующем порядке:

1.  Отбрасываем лишние опорные связи, перемещения по направлению которых по условию задачи равны нулю, и переводим заданную статически неопределимую систему в статически определимую систему.

2.  По направлению каждой отброшенной связи прикладываем единичную силу (или момент).

3.  От каждой единичной силы (или момента) строим единичную эпюру изгибающих моментов .

4.  Умножая эпюры на окончательную эпюру изгибающих моментов М, определяем перемещения в полученной статически определимой системе по направлению каждой отброшенной связи.

Если перемещения по направлению каждой отброшенной связи равны нулю, то это свидетельствует о правильности окончательной эпюры изгибающих моментов.

Проверка коэффициентов и свободных членов системы

Коэффициенты и свободные члены системы канонических уравнений (2) метода сил представляют собой перемещения в основной системе от действия единичных усилий и внешней нагрузки.

Проверка проводится следующим способом:

1.  Строим суммарную единичную эпюру

2.  Проводим построчную проверку коэффициентов:

(4)

3. Проводим универсальную проверку коэффициентов:

Как правило, при расчете ограничиваются лишь универсальной проверкой. Если условие (5) не удовлетворяется, то для отыскания ошибки рекомендуется производить построчную проверку (4).

Л е к ц и я 13

ГРУППИРОВКА НЕИЗВЕСТНЫХ ПРИ РАСЧЕТЕ

СИММЕТРИЧНЫХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ

Будем считать раму симметричной, если ее геометрическая схема имеет ось симметрии и жесткости симметрично расположенных стержней равны друг другу.

Пусть имеем симметричную раму, показанную на рис. 1, а, для которой число лишних неизвестных Л = 3·4 – 8 = 4. При расчете этой рамы с помощью основной системы, показанной на рис. 1, б, необходимо составить и решить четыре уравнения с четырьмя неизвестными.

Будем иметь в виду, что симметричная и обратносимметричная эпюры при перемножении дают нуль. Кроме того, учтем, что от симметричных внешних усилий будут симметричные эпюры, а от обратносимметричных усилий – обратносимметричные эпюры.

Для получения симметричных и обратносимметричных эпюр принимают за неизвестные усилия не отдельные силы, а группы сил.

Примем за неизвестные не силы Х1, Х2, Х3, Х4 (рис. 1, б), а группы сил Z1, Z2, Z3, Z4 (рис. 1, в). Сопоставив две основные системы, изображенные на рис. 1, б, в, можно установить между неизвестными Хi и Zi следующие зависимости:

которые могут быть представлены в виде:

Эпюры изгибающих моментов от единичных групповых сил Zi = 1 изображены на рис. 1, г.

В результате проведенной группировки неизвестных система канонических уравнений

δ11Z1 + δ12Z2 + δ13Z3 + δ14Z4 + Δ1F = 0,

δ21Z1 + δ22Z2 + δ23Z3 + δ24Z4 + Δ2F = 0,

δ31Z1 + δ32Z2 + δ33Z3 + δ34Z4 + Δ3F = 0,

δ41Z1 + δ42Z2 + δ43Z3 + δ44Z4 + Δ4F = 0,

распадается на две независимые системы (подчеркнутые коэффициенты δij будут равны нулю):

δ11Z1 + δ13Z3 + Δ1F = 0, δ22Z2 + δ24Z4 + Δ2F = 0,

δ31Z1 + δ33Z3 + Δ3F = 0, δ42Z2 + δ44Z4 + Δ4F = 0,

в одну из которых войдут симметричные (Z2, Z4), а в другую – обратносимметричные неизвестные (Z1, Z3).

Объем вычислений благодаря этому уменьшается в несколько раз.

Симметричные и обратносимметричные нагрузки

При действии только симметричной или только обратносимметричной нагрузки на симметричное сооружение задача еще более упрощается. В этом случае можно выбрать такую основную систему, что не только все единичные эпюры, но и грузовые эпюры будут симметричны или обратносимметричны и тогда не только многие из коэффициентов при неизвестных δij, но и некоторые из свободных членов ΔiF системы канонических уравнений (1) окажутся равными нулю.

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ

НА ДЕЙСТВИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ

Канонические уравнения метода сил при расчете статически неопределимой системы на действие температуры имеют вид:

δ11Х1 + δ12Х2 + … + δ1nХn + Δ1t = 0,

δ21Х1 + δ22Х2 + … + δ2nХn + Δ2t = 0,

…………………………………….,

δn1Х1 + δn2Х2 + … + δnnХn + Δnt = 0, (2)

где Δit – температурные перемещения в основной системе по направлениям лишних неизвестных усилий Х1, Х2,…, Хn (формулы (2) и (3) лекции 11).

Пример 1. Трехпролетная неразрезная балка постоянной высоты h подвергается нагреванию верхних волокон на tо (рис. 2). Построить эпюру моментов от температурного воздействия на балку при EI = const.

Составим канонические уравнения метода сил, предварительно определив Л = 3·4 – 10 = 2, тогда

δ11Х1 + δ12Х2 + Δ1t = 0,

δ21Х1 + δ22Х2 + Δ2t = 0, (3)