Строительная механика (стр. 8 )

Решая систему двух уравнений (3), определяем

Х1 = Х2 = 6αtEI / (5hl)

и строим эпюру изгибающих моментов Мt (рис. 2) от температурного воздействия на балку.

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ

НА ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ОПОР

Осадка опор вызывает дополнительные усилия, если при этом происходит смещение опор по направлениям лишних связей.

Пример 2. В качестве иллюстрационного примера рассмотрим раму, показанную на рис. 3, а. Штриховой линией показано положение рамы после того как ее правая опора сместилась по горизонтали, вертикали и, кроме того, повернулась на угол φ. На рис. 3, б показана основная система, где лишние неизвестные усилия Хi действуют по направлениям заданных перемещений опоры. Таким образом, канонические уравнения метода сил представятся в виде:

δ11Х1 + δ12Х2 + δ13Х3 = a,

δ21Х1 + δ22Х2 + δ23Х3 = –b,

δ31Х1 + δ32Х2 + δ33Х3 = φ. (4)

Например, второе уравнение системы (4) выражает мысль, что перемещение точки А в направлении неизвестной силы Х2 от силы Х1 (δ21Х1), плюс перемещение этой же точки в направлении силы Х2 от самой же силы Х2 (δ22Х2), плюс перемещение точки в направлении силы Х2 от момента Х3 (δ23Х3) должно быть равно реальному смещению правой опоры в направлении силы Х2, то есть ΔА = –b. Знак минус в правой части второго уравнения объясняется тем, что направление силы Х2 противоположно направлению заданного смещения опоры по вертикали.

Коэффициенты δij вычисляются обычным путем. После этого из системы канонических уравнений (4) находим неизвестные усилия Х1, Х2, Х3 и строим эпюры изгибающих моментов, нормальных и поперечных сил.

Пример 3. При осадке промежуточной опоры двухпролетной неразрезной балки в ней возникнут внутренние изгибающие моменты (рис. 4).

Отбросим мысленно эту опору и заменим ее действие силой Х1. Учитывая, что балка один раз статически неопределима, запишем каноническое уравнение в виде:

δ11Х1 = –Δ1, тогда Х1 = –Δ1/ δ11, где δ11 = l3/(6EI),

X1 = –6EI Δ1/l3.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ

При выводе формулы перемещений (7) лекции 9 рассматривались любые упругие стержневые системы, деформации которых малы по сравнению с размерами их поперечных сечений, а материал конструкции удовлетворяет закону Гука. Таким образом, для определения перемещений произвольной точки стержневой статически неопределимой системы необходимо построить эпюру изгибающих моментов от действия внешних нагрузок или иных факторов (МF или Мt), например, при помощи метода сил.

Затем в точке, где определяется перемещение, приложить единичную силу в направлении искомого перемещения. Единичная сила прикладывается в основной статически определимой системе и строится эпюра моментов от этой единичной силы . После перемножения эпюр

найдем искомое перемещение ΔiF.

Тот же ответ получим, если за эпюру моментов взять эпюру изгибающих моментов от единичной силы, приложенной в соответствующей точке заданной статически неопределимой стержневой системе. Но для построения эпюры моментов от единичной силы в этом случае потребуются более сложные вычисления, чем в первом случае.

Л е к ц и я 14

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ АРКИ

В строительной практике встречаются арки трех основных типов: трехшарнирные, двухшарнирные и бесшарнирные, причем трехшарнирные арки являются статически определимыми системами, а остальные – статически неопределимыми.

Классификация арок осуществляется также по очертанию оси: круговые, параболические, эллиптические и т. д.

Основными характеристиками арки являются ее пролет l и стрела подъема f (рис. 1 лекции 7). Вопрос о преимуществах и целесообразности применения той или иной конструктивной формы арки на практике решается исходя из конкретных условий работы и эксплуатации сооружения.

Двухшарнирные арки

Двухшарнирная арка состоит из криволинейного диска, соединенного двумя шарнирно-неподвижными опорами с землей (рис. 1, а). Она является один раз статически неопределимой системой.

В двухшарнирных арках толщина обычно убывает от середины пролета к опорам, что увязывается с видом эпюры моментов. Для двухшарнирной арки обычно пользуются уравнением в форме

I = Iocosφ,

где Io – момент инерции в замке (вершина арки), φ – угол, образуемый касательной к оси арки с горизонталью.

Расчет двухшарнирной арки проводится по методу сил. Заданная и основная система показаны на рис. 1, а, б. Для отыскания распора Х1 составим каноническое уравнение, выражающее условие равенства нулю горизонтального перемещения подвижной опоры (рис. 1, б):

(1)

где Δ1F – горизонтальное перемещение левой опоры от действия внешней нагрузки в основной системе. Из уравнения (1) определяем

(2)

где

(3)

(4)

Для двухшарнирной арки имеем (рис. 1, в)

(5)

В этом случае из формул (3) и (4) находим

(6)

(7)

Вычислив δ11, Δ1F по формуле (2) находим величину распора Х1. Если на арку действует только вертикальная нагрузка, то X1 = HA = HB = H.

Внутренние усилия определяются по формулам

(8)

Принимая во внимание формулы (5) и, выражая внутренние усилия в арке основной системы через усилия в простой балке (рис. 1, г)

(9)

формулы (8) можно представить в виде

(10)

Если арка представляет собой кривой брус малой кривизны, то есть при R/h > 8, где h – наибольшая высота сечения, то в формулах (6), (7) можно пренебречь последними слагаемыми, учитывающими влияние поперечных сил.

Для пологих арок, для которых f / l < 1/6, имеем NF = –Qosinφ. Здесь sinφ много меньше единицы, поэтому можно пренебречь влиянием NF в формуле (7) и проводить вычисления по упрощенной формуле

(11)

Пренебрегать же влиянием продольной силы при нахождении горизонтального перемещения δ11 не всегда возможно.

Поскольку арка во многих случаях представляет собой основную часть дорогого и очень ответственного сооружения, то не следует игнорировать без анализа влиянием отдельных внутренних сил при определении перемещений.

Двухшарнирные арки с затяжкой

За основную систему может быть принята криволинейная балка с перерезанной затяжкой (рис. 2, б). Взаимное смещение сечений разреза затяжки для основной системы равно нулю, поэтому каноническое уравнение метода сил имеет вид:

(12)

где δ11 – взаимное смещение сечений разреза по направлению силы Х1 от действия силы Х1 = 1; Δ1F – то же, от внешней нагрузки.

Выражение для Δ1F бу-дет то же, что и для аналогичной двухшарнирной арки (7) или (11). Для перемещения δ11 добавляется влияние удлинения затяжки длиной l в состоянии Х1 = 1:

,

где ЕзАз – жесткость затяжки на растяжение. Следовательно, будем иметь

(13)

и тогда (14)