Математика (стр. 2 )

Вес 9 утят и 9 гусят будет равен 8100 г, значит вес 1 утенка и 1 гусенка равен 8100:9=900 г, тогда вес 4 утят и 4 гусят будет 3600 г. Сравнение полученного результата со вторым условием показывает, что 1 утенок весит 4000-3600=400. Ответ. 400 г. ( 5 баллов)

Решение № 2. По условию, пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов, значит, пока папа делает 9 шагов, Маша делает 15 шагов. Пока Маша делает 15 шагов, Яша делает 25 шагов (оба числа в 5 раз больше, чем данные в условии задачи). Значит, пока папа делает 9 шагов, Маша с Яшей вместе делают 40 шагов. По условию задачи они вместе прошли 400 шагов, то есть в 10 раз больше, чем 40. Значит, и папа пройдет в 10 раз больше, то есть 90 шагов. ( 6 баллов)

№ 3 Ответ. .

(5 баллов)

Решение № 4.

Ке и Кекс, говоря о цвете Бре, противоречат друг другу, значит, по крайней мере один из них лжец. Следовательно, высказывание «Бре – лгун» неверно. Значит, Бре всегда говорит правду, и на острове нет синих лягушек. Ответ. Не водятся. (8 баллов)

Решение № 5.

( 6 баллов)

Решение № 6. Так как утром в печку влезает 5 кг угля, а вечером – уже 7 кг, то за время бодрствования истопника сгорает 7 кг угля (5 кг тех, которые были положены утром, и ещё 2 кг, уже лежащие в печке). Вечером в печку кладут 7 кг, следовательно, за время сна 5 кг из них (чтобы утром можно было положить ровно 5 кг угля). Таким образом, моменты засыпания и пробуждения истопника делятся на две части, длины которых относятся как 7 к 5. Пусть 7 часов истопник бодрствует, а 5 часов – спит. Тогда 12=24, откуда =2. Таким образом, истопник бодрствует 14 часов, следовательно, он ложится спать 22 часа 30 минут.

Ответ. 22.30. ( 8 баллов)

6 класс

№ 1 Ответ. 1428577=999999. ( 5 баллов)

Решение №2. Допустим обратное, т. е. ученики собрали разное количество арбузов, тогда они собрали всего не больше, чем . Получили противоречие, что и доказывает утверждение задачи (8 баллов)

Решение № 3. Если прибавить к исходному числу 1, то полученное число будет делиться на 2, на 3, на 4, на 6, на 7, на 8, на 9, на 10. Таким наименьшим числом является . Значит искомое число 2519.

Ответ. 2519. (6 баллов)

Решение № 4. По условию, пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов, значит, пока папа делает 9 шагов, Маша делает 15 шагов. Пока Маша делает 15 шагов, Яша делает 25 шагов (оба числа в 5 раз больше, чем данные в условии задачи). Значит, пока папа делает 9 шагов, Маша с Яшей вместе делают 40 шагов. По условию задачи они вместе прошли 400 шагов, то есть в 10 раз больше, чем 40. Значит, и папа пройдет в 10 раз больше, то есть 90 шагов.

Ответ. 90 шагов. (6 баллов)

Решение № 5. Число часов на электронных часах равно числу минут 23 раза в сутки: 00:00, 01:01, 02:02, …, 21:21, 22:22, 23:23.

Если мы находимся в пределах одних суток, то разница между этими числами равно либо 1 часу 1 минуте, либо 2 часам 2 минутам и так далее. То есть, если зелье варится без «перехода через полночь», то оно не может быть вкусным. При «переходе через полночь» можно двумя способами получить разницу времени от полутора до двух часов: 1) если начать в 22:22 и закончить 00:00; 2) если начать в 23:23 и закончить в 01:01. В обоих случаях зелье нужно варить 1 час 38 минут.

Ответ. 1 час 38 минут. (8 баллов)

Решение № 6. Пусть Аня ходит медленнее Бори, а Вася намного медленнее их обоих. Тогда в первый день Боря догонит Аню, дальше они пойдут со скоростью Ани, но медленный Вася их все равно не догонит. На следующий день Боря догонит Васю, поэтому дальше они пойдут с его скоростью, после чего их может догнать Аня, ходящая быстрее Васи.

Ответ: да, могут. (10 баллов)

7 класс

Решение № 1.

Ответ. 3. (5 баллов)

Решение №2 . Пусть х – количество правильно решенных задач, y – неправильно решенных. Тогда 8х-5у=13. Переписав это уравнение в виде

8(х+у)=13(1+у),

мы видим, что число х+у делится на 13. С другой стороны, по условию х+у не больше 20.

Поэтому х+у=13.

Ответ.13 (7 баллов)

Решение № 3

Ответ. Можно. (5 баллов)

Решение №4 ( 5 баллов)

Ответ. .

Решение № 5. Обозначим массы предметов их первыми буквами: Д (диван), Ч (чемодан), С (саквояж), К (картина, корзина и картонка), а массу маленькой собачки – М. Из условия задачи Д=Ч+С (1); Д=3К (2); К>М(3); М+С>Д (4); М+Ч>Д (5). Сложив неравенства (4) и (5) и воспользовавшись уравнением (1), найдем, что 2M>Д; с другой стороны, подставив условие (3) в (2), найдем, что Д>3М. Эти неравенства противоречивы, получается, что 2М >3М.

( 10 баллов)

Решение №6. Из условия следует, что указанные три месяца содержали 12 воскресений. А поскольку один из любых семи подряд идущих дней является. воскресеньем, то эти месяцы насчитывали вместе меньше, чем день. Остается заметить, что любые три подряд идущих месяца, среди которых нет февраля, насчитывают вместе не меньше, чем 91 день.

Ответ. Декабрь, январь, февраль; январь, февраль, март; февраль, март, апрель ( 8 баллов)

8 класс

Решение №1: Пусть - количество предметов, изученных на -том году. Тогда .

Оценим сумму снизу: , откуда

А теперь сверху: то есть

Таким образом, и . Простейший перебор позволяет сделать вывод, что существует только 2 возможности:

и .

Ответ: . ( 5 баллов)

Решение №2. Поскольку четвертая степень числа =В+Е+С+Ы является четырехзначным числом, то само число , то само число не меньше 6 и не больше 9, так что ВЕСЫ – одно из чисел 1296, 2401, 4096, 6561. Перебором получаем, что 2401 удовлетворяет данному условию.

Ответ. 2401. ( 6 баллов)

Решение №3. Пусть – белых и – черных шаров, тогда

Ответ. 19 белых и 11 черных шаров. ( 6 баллов)

Решение №4. Перепишем выражение в виде Поскольку разность одинаковых степеней делится на разность их оснований, выражение кратно 7.

( 8 баллов)

Решение №5. Пусть ВС=, АС=, АВ=. , тогда , .