Математика (стр. 3 )

( 7 баллов)

Решение № 6. Пусть . Перепишем неравенство в виде .

Корнями квадратного уравнения являются числа Следовательно, либо , либо . Поскольку то и . Значение достигается, например, при .

Ответ. 4 ( 10 баллов)

9 класс

Решение № 1. Заметим, что1! · 2! · 3! · 4! ·…· 20! = (1! · 2!) · (3! · 4!) ·…· (19! · 20!) =
= (1! · 1! · 2) · (3! · 3! · 4) · (5! · 5! · 6) ·…· (17! · 17! · 18) · (19! · 19! · 20) = 
= (1!)2 · (3!)2 · (5!)2 ·…· (19!)2  ·  (2 · 4 · 6 · 8 ·…· 18 · 20) =
= (1!)2 · (3!)2 · (5!)2 ·…· (19!)2 · (2 · (2 · 2) · (3 · 2) ·…· (10 · 2)) =
= (1! · 3! ·…· 19!)2 · 210 · (1 · 2 · 3 ·…· 2 · 10) = (1! · 3! ·…· 19!)2 (25)2 · 10! Мы видим, что первые два множителя – квадраты, поэтому, если вычеркнуть 10!, то останется квадрат. Таким образом, вычеркивание других множителей, указанных в ответах, не дает желаемого результата. Ответ: 10!

( 5 баллов)

Решение № 2. Заметим, что

Используя формулу , получим

Тогда исходное выражение примет вид , ч. т.д. (6 баллов)

Решение № 3: Уравнение равносильно системе

Так как при функция монотонна, то она имеет обратную функцию . Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой (и все их общие точки лежат на этой прямой), поэтому , откуда . Учитывая условие получаем Ответ: (9 баллов)

Решение № 4. Обозначим √2 + √3 =a. Тогда a2 = 5 + 2√6, а  (a2 – 5)2 = (2√6)2или a4 – 10a2 + 25 = 24, которое равносильно a4 – 10a2 + 1 = 0. А это и означает, что, а является корнем многочлена  x4 – 10x2 + 1. Ответ:  x4 – 10x2 + 1. (6 баллов)

Решение № 5:

Рис. 1 Рис.2

Может быть один из следующих случаев:

1)  АО и АВ по одну сторону от АС (рис.1). Проведем диаметр AD, тогда, очевидно: АО и АВ по разные стороны от АС (рис.2).

Ответ: . ( 7 баллов)

Решение № 6. Пусть . Перепишем неравенство в виде .

Корнями квадратного уравнения являются числа Следовательно, либо , либо . Поскольку то и . Значение достигается, например, при . Ответ. 4 (10 баллов)

10 класс

Решение № 1. Уравнение x4 – 4x3 + 12x2 – 24x + 24 = 0  преобразовать к виду (x2 – 2x)2 + 8(x – 1,5)2 + 6 = 0,   которое не имеет решений. Ответ. Нет решений. (5 баллов)

Решение № 2. Докажем от противного. Допустим, что количество таких простых чисел ограничено, в частности, меньше 2011. Тогда любое значение многочлена представимо в виде произведения 2010 различных простых чисел в некоторых степенях:

, где – различные простые числа, не зависящие от ; – целые неотрицательные числа (могут быть нулями). Пусть .

Возможны два случая.

1) . Тогда

. Многочлен может делиться на любое простое число, достаточно взять число , равное этому числу.

2) .

Будем рассматривать только те , которые а) делятся на б) больше максимального корня многочлена, так что . .

Вынесем за скобку: . Так как значение выражения, стоящего в скобках, всегда целое число, правая часть равенства должна делиться на . При делении на справа остается такое же произведение простых чисел, только показатели степеней изменяется. . Возьмем . Тогда левая часть равенства не будет делиться на все . Так как правая часть делиться на все , получаем противоречие. (10 баллов)

Решение № 3. Обозначим длины сторон большого и малого квадратов через 2х и 2у соответственно, радиус окружности – через R. Тогда расстояния от центра окружности до вершин вписанных квадратов, лежащих на окружности дают выражения (2 – h)2 + x2 = R2,  (2y + h)2 + y2 = R2.  Отсюда получим x - y = (4/5)h.  Тогда, разность длин сторон квадратов будет равна (8/5)h. Ответ. (8/5)h. ( 6 баллов)