Математика (стр. 1 )

Математика

5 класс

1.  Четыре утенка и пять гусят весят 4 кг 100 г, а пять утят и четыре гусенка весят 4 кг. Сколько весит один утенок.

Папа, Маша и Яша вместе идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа? Расшифровать числовой ребус:

.

Некоторые жители Острова Разноцветных Лягушек говорят только правду, а остальные всегда лгут. Трое островитян сказали так:

Бре: На нашем острове нет синих лягушек.

Ке: Бре лгун. Он же сам синяя лягушка!

Кекс: Конечно, Бре лгун. Но он красная лягушка.

Водятся ли на этом острове синие лягушки?

В клетках квадрата переставьте числа так, чтобы их сумма по любой вертикали, горизонтали и диагонали была одна и та же.

Просыпаясь, каждое утро в 8.30, истопник набивает печку углем до упора. При этом он кладет ровно 5 кг угля. Каждый вечер, ложась спать(а ложится он также в одно и то же время), он опять набивает печку углем до упора и кладет при этом ровно 7 кг угля. В какое время истопник ложится спать?

6  класс

1.Решить числовой ребус:

2.17 учеников собрали 100 арбузов. Доказать, что какие-то два из них собрали одинаковое число арбузов

3.Найти наименьшее число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 – 2, на 4 – 3, на 5 – 4, на 6 – 5, 7 – 6, на 8 – 7, на 9 – 8, на 10 – 9.

4.Папа, Маша и Яша вместе идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа?

5.Волшебным считается момент, в который число минут на электронных часах совпадает с числом часов. Чтобы сварить волшебное зелье, его надо и поставить на огонь, и снять с огня в волшебные моменты. А чтобы оно получилось вкусным, его надо варить от полутора до двух часов. Сколько времени варится вкусное волшебное зелье?

6. Одноклассники Аня, Боря и Вася живут на одной лестничной клетке. В школу они идут с постоянными, но различными скоростями, не оглядываясь и не дожидаясь, друг друга. Но если кто-то из них успевает догнать другого, то дальше он замедляется, чтобы идти вместе с тем, кого догнал.

Однажды первой вышла Аня, вторым Боря, третьим Вася, и какие-то двое из них пришли в школу вместе. На следующий день первым вышел Вася, вторым Боря, третьей Аня. Могут ли все трое прийти в школу вместе?

7 класс

1.  Вычислить значение , если .

2. Ученику прислали задание, состоящее из 20 задач. За каждую верно решенную задачу ему ставят 8 баллов, а за каждую неверно решенную – минус 5 баллов, за задачу, которую он не брался решать – 0 баллов. Ученик получил в сумме 13 баллов. Сколько задач он брался решать?

 

3. Торт имеет форму равнобедренной трапеции, у которого

верхнее основание и боковые стороны в 2 раза меньше нижнего

основания. Можно ли торт разделить на 4 равные части?

4. Решить числовой ребус:

.

5. Дама сдавала в багаж: диван, чемодан, саквояж, корзину, картину, картонку и малень-кую собачонку. Диван весил столько же, сколько чемодан и саквояж, вместе взятые, и столько же, сколько картина, корзина и картонка, вместе взятые. Картина, корзина и картонка весили поровну и каждая из них больше, чем собачонка. Когда выгружали багаж, дама заявила, что собака не той породы. При проверке оказалось, что собака перевешивает диван, если к ней на весы добавить саквояж и чемодан. Покажите, что в претензиях дама справедлива.

6. В некотором году три месяца подряд содержали всего 4 воскресенья. Какие это месяцы?

8 класс

1.  Ученик за 5 лет изучил 31 предмет. В каждом следующем году он изучал предметов больше, чем в предыдущем, а на 5 году изучил втрое больше предметов, чем на первом. Сколько предметов он изучил на 4 году?

2.  Заменить буквы цифрами так, чтобы равенство ВЕСЫ=(В+Е+С+Ы)4 оказалось верным.

3.  В коробке находится 30 черных и белых шаров. Определить, сколько белых и сколько черных шаров в коробке, если среди любых 12 шаров хотя бы 1 белый, а среди любых 20 шаров хотя бы 1 черный.

Доказать, что выражение кратно 7 при любом целом неотрицательном . Показать, что площадь прямоугольного треугольника с острым углом в

составляет восьмую часть квадрата гипотенузы.

6.  Известно, что положительные числа a, b, c удовлетворяют неравенству . Пусть число x равно отношению наибольшего из чисел a, b, c к наименьшему числу. Найдите наименьшее возможное значение x.

9 класс

1.  По определению, n ! = 1 · 2 · 3 · … · n. Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! · 2! · 3! · … · 20!, чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?

2.  Доказать, что есть целое число.

3.  Решить уравнение .

4.  Найдите многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого является число √2 +√3.

5.  Угол между радиусом АО окружности, описанной около треугольника АВС, и стороной АС равен 400. Найдите угол А треугольника АВС, если угол С равен 300.

6.  Известно, что положительные числа a, b, c удовлетворяют неравенству . Пусть число x равно отношению наибольшего из чисел a, b, c к наименьшему числу. Найдите наименьшее возможное значение x.

10 класс

Решить уравнение  x4– 4x3 + 12x2 – 24 x +24 = 0.

2. Дан многочлен 2011-й степени f(x) с целочисленными коэффициентами. Докажите, что существует не менее 2011 различных простых чисел таких, что для каждого из них существует целое число x0 такое, что f(x0) делится на это простое число.

3. Хорда удалена от центра окружности на расстояние  h.  В каждый из двух сегментов круга, стягиваемый этой хордой, вписан квадрат так, что пара его соседних вершин лежит на хорде, а другая пара соседних вершин – на соответствующей дуге окружности. Найдите разность длин сторон квадратов.

4. Назовем натуральные числа «близкими», если их десятичная запись содержит одно и то же число значащих цифр и отличается ровно в одном разряде на величину, по модулю равную 1. Докажите, что если трехзначное число не начинается с 1 и не содержит в своей записи нулей и девяток, то либо оно само, либо одно из близких ему чисел, делится на 7.

Вычислить . Найти все тройки чисел , являющихся длинами сторон треугольника с диаметром описанной окружности, равными 6,25.

11 класс

Найти функцию , удовлетворяющую уравнению

, где .

Дан многочлен 2011-й степени f(x) с целочисленными коэффициентами. Докажите, что существует не менее 2011 различных простых чисел таких, что для каждого из них существует целое число x0 такое, что f(x0) делится на это простое число.

3.  Существует ли многогранник (не обязательно выпуклый), у которого столько же ребер, вершин и граней, сколько их у куба, но у которого нет четырехугольных граней?

В каждую клетку квадратной таблицы 25 x 25 вписано произвольным образом одно из чисел 1 или -1. Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце. Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной нулю. В пространстве даны девять точек с целочисленными координатами. Докажите, что середина хотя бы одного из отрезков с концами в этих точках имеет целочисленные координаты. Изобразить на координатной плоскости все точки с координатами , для которых имеет решение уравнение , и все его положительные решения образуют арифметическую прогрессию.

Ключи

5 класс

Решение № 1. Условие задачи коротко запишем так:

,

.