Математика (стр. 4 )

Решение № 4: Пусть а – данное трехзначное число. Так как по условию оно не начинается с 1 и не содержит в своей записи нулей и девяток, то «близкими» для него числами будут числа . Все эти числа и число а имеют разные остатки при делении на 7, среди них есть остаток 0, а значит, одно из этих чисел делится на 7, что и требовалось доказать. (8 баллов)

Решение № 5. Поскольку ,тогда данное выражение примет вид . Ответ. (5 баллов)

Решение № 6. Пусть – длины сторон треугольника с диаметром описанной окружности. Пусть – площадь и – полупериметр треугольника. Заметим, что , тогда . Известно, что откуда . Значит, число делится на 625, тогда, по крайней мере два из трех чисел равны 5. Пусть для определенности , тогда имеем: т. е. . Итак, имеем тройку чисел (5;5;6), удовлетворяющие условию задачи.

Ответ. (5;5;6). ( 8 баллов)

11 класс

Решение № 1. Заменяя на получим , где . Решая полученное уравнение с данными, имеем систему относительно и :

.

Умножим обе части первого уравнения на 5, а второго на (-3), затем почленно сложим и получим . Ответ. (5 баллов)

Решение № 2. . Докажем от противного. Допустим, что количество таких простых чисел ограничено, в частности, меньше 2011. Тогда любое значение многочлена представимо в виде произведения 2010 различных простых чисел в некоторых степенях:

, где – различные простые числа, не зависящие от ; – целые неотрицательные числа (могут быть нулями). Пусть .

Возможны два случая.

1) . Тогда

. Многочлен может делиться на любое простое число, достаточно взять число , равное этому числу.

2) .

Будем рассматривать только те , которые а) делятся на б) больше максимального корня многочлена, так что . .

Вынесем за скобку: . Так как значение выражения, стоящего в скобках, всегда целое число, правая часть равенства должна делиться на . При делении на справа остается такое же произведение простых чисел, только показатели степеней изменяется. . Возьмем . Тогда левая часть равенства не будет делиться на все . Так как правая часть делиться на все , получаем противоречие. (9 баллов)

Решение № 3. Достаточно «выпилить» маленький тетраэдр из большой треугольной пирамиды так, как сделано на картинке.

Ответ: Да. ( 6 баллов)

Решение № 4. Найдем произведение всех 25 чисел, записанных под каждым столбцом и всех 25 чисел, записанных справа от строчек. Так как в этом произведении каждое из чисел квадратной таблицы входит по два раза, то произведение этих 50 произведений, в каждом из которых стоит по 25 множителей, будет положительным, т. е. равно 1. А так как произведение 50 чисел положительно, то отрицательных сомножителей будет четное число (2, 4, …, 50). Сумма же 50 произведений может быть нулем лишь в случае, когда 25 слагаемых равно 1, а 25 слагаемых равно - 1, т. е. слагаемых с - 1 должно быть нечетное число. А это значит, что сумма 50 написанных произведений не может равняться нулю. ( 7 баллов)

Решение № 5.

Середина отрезка будет иметь целочисленные координаты, если соответствующие координаты его концов имеют одинаковую «четность». Существует всего 8 различных комбинаций четности (ч) и нечетности (н) координат точек в пространстве: ннн, ннч, нчн, нчч, чнн, чнч, ччн, ччч. Поэтому, можно подобрать только 8 точек, любые две из которых будут иметь координаты, отличающиеся «четностью» хотя бы в одной позиции. Однако, девятая точка неизбежно будет иметь координаты, совпадающие по своей «четности» с соответствующими координатами одной из 8 точек, что и доказывает утверждение.

( 6 баллов)

Решение № 6. Очевидно, что уравнение имеет решение, если уравнение имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию

Может быть 2 случая:

Случай 1. Уравнение имеет 2 совпавших корня, удовлетворяющих условию . Корни уравнения образуют арифметическую прогрессию только тогда, когда (простейшая интерпретация на единичной окружности). Рассмотрим эти варианты:

а) тогда и

б) тогда и

в) тогда и

Случай 2. Уравнение имеет 2 корня, но только один из них удовлетворяет условию

Пусть так как то тогда Аналогично предыдущему случаю получаем следующие варианты:

а) Получаем:

б) откуда Получаем:

в) откуда Получаем

Случай 3. Уравнение имеет 2 корня, удовлетворяющих условию

Простейшая интерпретация на единичной окружности позволяет сделать вывод, что корни уравнения образуют арифметическую прогрессию только в одном из следующих случаев: а) б) в) г)

Рассмотрим эти случаи:

а) В этом случае .

б) В этом случае .

в) В этом случае .

г) В этом случае .

Ответ: изображен на рисунке (10 баллов)