Методическая разработка (стр. 4 )

4.  материал стержня подчиняется закону Гука. Учитывая, что , из обобщенного закона Гука в форме получаем . Это означает, что в поперечных сечениях, стержня возникают лишь касательные напряжения , а вследствие закона парности касательных напряжений, равные им напряжения действуют и в сопряженных продольных сечениях. Следовательно, напряженное состояние стержня — чистый сдвиг.

Рис.5.20. Иллюстрация кручения: а) исходное и б) деформированное состояния

Построение эпюр крутящих моментов

Правило знаков для крутящего момента удобно принимать произвольным. Например:

крутящий момент считается положительным, если он возникает от внешнего момента (М, m), вращающего отсеченную часть стержня против часовой стрелки, если смотреть на момент со стороны сечения (рис.5.21,а) или наоборот (рис.5.21.,б)

Рис.5.21.

Пример 1. Построить эпюру Мк (рис.5.22)

Рис.5.22.

Разбиваем стержень на силовые участки (I, II, III) и на каждом из них, применяя метод сечений, вычисляем значения крутящего момента Мк как алгебраическую сумму внешних моментов, действующих на отсеченную часть:

I участок: 0≤z1<1 м

линия 0-го порядка

II участок: 0≤z2<3 м

при z2 = 0 кН∙м

линия 1-го порядка при z3 = 3 м кН∙м

III участок: 0≤z3<2 м

линия 0-го порядка

Строим эпюру Мк.

Пример 2. Построить эпюру Мк, (рис.5.23)

Рис.5.23.

Разбиваем стержень на силовые участки (I, II, III, IV) и, применяя последовательно на каждом из них метод сечений, вычисляем крутящий момент Мк как алгебраическую сумму внешних моментов, действующих на рассматриваемую отсеченную часть стержня.

Так как левый торец жестко заделан, то лучше рассматривать правую отсеченную часть стержня, чтобы предварительно не вычислять реактивный момент.

I участок:

II участок:

III участок:

IV участок:

Строим эпюру Мк.

Деформации и напряжения при кручении

Выведем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения на примере вала.

Валом называется стержень (брус), работающий на кручение.

Теория кручения бруса (вала) с круглым поперечным сечением в сопротивлении материалов основывается на гипотезе Бернулли (гипотеза плоских сечений), согласно которой поперечные сечения бруса круглого сечения остаются плоскими и перпендикулярными к его оси, размеры и форма поперечного сечения не изменяются.

Справедливость данной гипотезы при кручении подтверждена решением рассматриваемой задачи методом теории упругости.

Рассмотрим деформацию бесконечно малого элемента, вырезанного из вала (рис.5.24, а, б) цилиндрической поверхностью с радиусом r. Ближнее торцевое сечение поворачивается под действием крутящего момента Мк на угол dφ относительно дальнего. Образующая цилиндра АD поворачивается при этом на угол g и занимает положение АD'. Отрезок DD' равен с одной стороны rdj, а с другой - gdz. Следовательно,

. (5.30)

Угол g представляет собой угол сдвига цилиндрической поверхности. Величина dj /dz называется относительным углом закручивания и обозначается Q:

. (5.31)

На основании закона Гука при сдвиге,, если положить , имеем

, (5.32)

где t - касательные напряжения в продольных и поперечных сечениях элемента вала; G – модуль сдвига.

Зависимость (закон Гука при чистом сдвиге) можно получить, рассматривая деформацию бесконечно малого элемента АВСD, испытывающего чистый сдвиг (рис.5.24,в).

Рис.5.24.

Из , так как для тела большой жесткости . На этом же основании дуга заменена перпендикуляром и . Из . Приравнивая DS и учитывая, что , а , получаем или , откуда .

Деформацию eАС можно выразить через t, если воспользоваться одним из уравнений:

в котором при чистом сдвиге (см. рис.5.24,в)

.

Подставляя в предыдущее выражение значение eАС, получим закон Гука при чистом сдвиге:

,

где G – модуль упругости 2-го рода или модуль сдвига:

.

Элементарная сила tdF (рис.5.10,а) приводится к элементарному крутящему моменту . Следовательно, полный крутящий момент равен

. (5.33)

Подставляя (5.32) в (5.33) получаем

, (5.34)

где Áр – полярный момент инерции сечения круглого вала, равный

. (5.35)

Из формулы (5.34) получаем формулу для определения относительного угла закручивания

. (5.36)

Через относительный угол закручивания Q=dj/dz определяется величина взаимного угла поворота сечений j:

, (5.37)

где l - расстояние между сечениями, для которых определяется взаимный угол поворота j.

Произведение GÁр называется жесткостью бруса с круглым поперечным сечением при кручении и имеет размерность Н·м2.

Если по длине стержня Мк = const и GÁр = const, то

. (5.38)

Формулу для определения касательных напряжений можно получить, подставив в (5.32) значение Q из (5.36)

. (5.39)

Таким образом, касательные напряжения в поперечном сечении распределяются вдоль радиуса по линейному закону и имеют наибольшие значения в точках, наиболее удаленных от центра (рис.5.25 а, б). При этом

Рис.5.25.

. (5.40)