Методическая разработка (стр. 5 )

Здесь вводится новая величина

, (5.41)

которая называется полярным моментом сопротивления.

Формулы (5.36), (5.38) и (5.40) являются основными расчетными формулами при кручении валов круглого поперечного сечения.

Итак, установлено, что в поперечных сечениях бруса при кручении возникают касательные напряжения, которые в каждой точке сечения перпендикулярны радиусу, соединяющему эту точку с осью бруса (рис.5.26). В силу закона парности такие же напряжения возникают и в радиальных плоскостях, проходящих через ось бруса (рис.5.26).

Рис.5.26.

Отметим, что полученные формулы по структуре аналогичны формулам для деформаций при растяжении стержня.

Наибольшие касательные напряжения возникают у внешней поверхности стержня, т. е. при

где Wр — момент сопротивления при кручении или полярный момент сопротивления

.

Как показали эксперименты и точное решение этой задачи в теории упругости, все гипотезы, сформулированные ранее для стержня со сплошным круговым сечением, остаются справедливыми и для стержня кольцевого поперечного сечения (рис.5.25). Поэтому все выведенные ранее формулы пригодны для расчета стержня кольцевого сечения с той лишь разницей, что полярный момент инерции определяется как разность моментов инерции кругов с диаметрами D и d

где , а момент сопротивления определяется по формуле

Учитывая линейный характер изменения касательных напряжений по радиусу (рис.5.27) и связанное с этим лучшее использование материала, кольцевое сечение следует признать наиболее рациональным при кручении стержня. Коэффициент использования материала тем выше, чем меньше относительная толщина трубы.

Как отмечено ранее, напряженное состояние при кручении стержня — чистый сдвиг, являющийся частным случаем плоского напряженного состояния. На площадках, совпадающих с плоскостью поперечного сечения и на парных им площадках продольных сечений возникают экстремальные касательные напряжения max-min , а главные напряжения действуют на площадках, наклоненных к оси стержня под углами ; главное напряжение .

Особенности напряженного состояния при кручении нашли отражение в характере разрушения стержней. Так, разрушение стержня из дерева, плохо работающего на скалывание вдоль волокон, происходит от продольных трещин (рис. 5.27, a). Разрушение стержня из хрупкого металла (например, чугуна) происходит по винтовой линии, наклоненной к образующим под углом 45o, т. е. по траектории главного напряжения (рис. 5.27,б).

Рис.5.27. Распределение исходных касательных и главных напряжений

Условия прочности и жесткости

Условие прочности вала (стержня) имеет вид

, (5.42)

где - допускаемое касательное напряжение;

Wр – момент сопротивления (полярный).

Условие жесткости вала представляет собой ограничение, накладываемое на величину относительного угла закручивания:

, (5.43)

где [Q] – допускаемый относительный угол закручивания.

5.5. Рациональное проектирование. Расчет на прочность и жесткость стержней кольцевого сечения.

Рациональное проектирование

Критерии рациональности формы поперечных сечений при кручении

Из двух сечений с одним и тем же полярным моментом сопротивления (или в случае некруглого сечения одним и тем же Wt), а следовательно, и с одним и тем же допускаемым крутя­щим моментом рациональным будет сечение с наименьшей пло­щадью, т. е. обеспечивающее наименьший расход материала. Так как отношение Wр/А (или Wt /А) — величина размерная, то для сравнения различных сечений удобно применять безразмер­ную величину

(при некруглом сечении ), которую называют удельным моментом сопротивления при кручении. Чем больше , тем рациональнее сечение.

В табл.1 приведены значения , для некоторых сечений.

Как видим, наименее выгодными при кручении являются швеллеры, двутавры, узкие прямоугольные сечения и наиболее

Таблица 1

Тип сечения
Швеллер Двутавр Прямоугольное сечение при а/b = 10 То же, а/b = 2 Квадрат Круглое сплошное сечение Круговое кольцо при: с = d/D = 0,5 с = 0,9	0,04—0,05 0,05—0,07 0,1 0,18 0,21 0,28 0,37 1,16

выгодными — круглые кольцевые, особенно при малой толщине стенок.

Сравним площадь стержней трубчатого сечения А2 с пло­щадью стержней сплошного сечения А1 при различных значени­ях с = d/D и при условии равной прочности. Из равенства по­лярных моментов сопротивления сплошного и кольцевого сече­ний имеем

Для равнопрочности должно соблюдаться условие

Отношение площадей сечения

Подставляя сюда значение D, найденное из условия равноп­рочности, получаем

В табл. 2 приведены значения отношения А2/А1, вычисленные по этой формуле при различных значениях с =d/D.

Из этой таблицы видно, что применение трубчатых тонкостенных стержней дает большую экономию металла.

При подборе сечений по жесткости в качестве критерия экономичности профиля может служить безразмерная величина

Таблица 2

с	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
А2/А1	1	0,99	0,96	0,92	0,85	0,79	0,7	0,61	0,51	0,39

Таблица 3

Тип сечения
Швеллер Двутавр Прямоугольное сечение при а/b =10 То же, а/b =2 Квадрат Круглое сечение сплошное Круговое кольцо при: с = d/D = 0,5 с = 0,9	0,010—0,011 0,009—0,015 0,031 0,115 0,14 0,16 0,264 1,22

(или для некруглых сечений), которую называют удельным полярным моментом инерции или удельной геометри­ческой характеристикой крутильной жесткости.

В табл. 3 приведены значения , для некоторых наиболее распространенных сечений.

Как видим, при расчете на жесткость преимущества кольце­вых тонкостенных сечений по сравнению с другими типами сечений еще более возрастают. Сравнение площадей стержней круглого кольцевого и сплошного сечений при одинаковой жес­ткости представлено в табл.4. В этой таблице А2 — площадь сечения стержня кольцевого (трубчатого) сечения, А1 — пло­щадь сечения стержня сплошного круглого сечения.

Таблица 4

с	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
А2/А1	1	0,99	0,96	0,92	0,85	0,78	0,69	0,58	0,46	0,32

Сравнивая эту таблицу с табл. 2 можно заметить, что при расчете на жесткость применение трубчатых тонкостенных стержней позволяет получить еще большую экономию материала.