Расчет на прочность и жесткость стержней кольцевого сечения
Расчет вала начинается с построения эпюры крутящих моментов. Крутящий момент Мк в рассматриваемом сечении равен алгебраической сумме внешних моментов Мi действующих на часть вала по одну сторону сечения. По эпюре определяется опасное сечение, в котором действует наибольший момент Мк.
Вместо внешних моментов Мi может быть задана мощность Ni. В этом случае внешний момент Мi равен
,
где w - угловая скорость вращения вала (рад/с); n – скорость вращения вала в об/мин; Ni – мощность, передаваемая по i –тому участку вала в кВт.
Внешние моменты, а значит и Мк будет иметь размерность кН×м.
Если Ni задана в л. с. (1 л. с. = 0,736 кВт), то
.
Условие прочности вала имеет вид
, (5.44)
где 
- допускаемое касательное напряжение; Wр – момент сопротивления (полярный).
Пользуясь условием прочности (5.44), можно проверить прочность вала (проверочный расчет), вычислив tmax и сравнив его с [t], а также подобрать диаметр вала (проектировочный расчет) по наибольшему Мк.
Так, для сплошного вала
. (5.45)
Для полого вала
. (5.46)
Проверка жесткости вала производится в том случае, если величина деформации ограничена техническими условиями. Условие жесткости вала представляет собой ограничение, накладываемое на величину относительного угла закручивания:
, (5.47)
где [Q] – допускаемый относительный угол закручивания.
Если угол выражается в градусах на погонный метр, то он называется круткой. Допускаемая крутка [Q] устанавливается техническими условиями (нормами) для различных режимов работы вала.
Из условия (5.46) получаем значение диаметра вала.
Для сплошного вала
(5.48)
и для полого вала
. (5.49)
Если вал ступенчатый и крутящий момент скачкообразно меняется по длине вала, то следует рассматривать вал по участкам, на которых Мк и GÁр постоянные.
5.5. Потенциальная энергия деформации при кручении
Определим теперь потенциальную энергию U деформации при кручении. Рассмотрим брус длиной l постоянной жесткости 
; во всех поперечных сечениях бруса действует постоянный крутящий момент МК =M. Угол поворота правого конца бруса равен полному углу его закручивания:
.
Работа внешнего статически нарастающего момента M равна половине произведения конечного значения этого момента на угол поворота свободного конца бруса, т. е.:
.
Эта формула верна при любом характере закрепления бруса.
На основании закона сохранения энергии U= А, следовательно,
(5.50)
В случае бруса переменной жесткости или переменного значения момента Мк по длине бруса потенциальная энергия деформации:
(5.51)
5.7. Расчет цилиндрических винтовых пружин малого шага.
Рис.5.28
Пружины являются одним из наиболее широко распространенных упругих элементов машин. Их используют главным образом в качестве амортизаторов — для смягчения ударов и толчков. В ряде случаев пружины используются в качестве аккумуляторов энергии для приведения в движение отдельных деталей или механизмов. Наибольшее применение получили цилиндрические винтовые пружины, работающие на растяжение или сжатие, изготовляемые из прутков круглого поперечного сечения. Рассмотрим приближенный расчет таких пружин.
Рис. 5.29
Рассмотрим пружину, нагруженную по концам растягивающими силами Р, действующими вдоль оси пружины и направленными в противоположные стороны (рис. 5.28, а). Обозначим R =D/2 радиус пружины, равный расстоянию от центра тяжести поперечного сечения прутка пружины до ее оси, и d=2r— диаметр сечения прутка.
Рассечем мысленно пруток плоскостью, проходящей через ось пружины, и отбросим нижнюю часть пружины. Верхняя часть будет находиться в равновесии под действием внешней силы Р и внутренних усилий в проведенном сечении прутка, заменяющих влияние отброшенной нижней части пружины на верхнюю.
Из условия равновесия оставленной верхней части следует, что равнодействующая указанных внутренних усилий представляет собой силу 5, направленную вниз вдоль оси пружины и равную Р (рис. 5.28,б). Эту силу можно заменить вертикальной силой Р1 = Р (приложенной в центре сечения прутка) и моментом М=РR, действующими в плоскости проведенного сечения прутка (рис. 5.28, в).
Для упрощения дальнейшего расчета будем предполагать, что угол наклона витков пружины к ее оси близок к 90°. Это предположение допустимо для пружин, у которых указанный угол не менее 75° (обычно он равен 80...85°). Оно позволяет рассматривать сделанное выше сечение прутка (рис. 5.28, б) как поперечное, момент М = РR — как крутящий момент Мк, а силу Р1 = Р —как поперечную силу Q.
Сила Q= Р вызывает в сечении касательные напряжения тс; приближенно будем считать эти напряжения распределенными равномерно по всему сечению прутка:
.
Эпюра касательных напряжений 
показана на рис. 5.29,а. Кроме того, в сечении прутка возникают касательные напряжения 
, связанные с наличием крутящего момента Мк = РR = РD/2 и равные:
.
Эпюра касательных напряжений показана на рис. 5.29, б.
Наибольшие напряжения возникают у боковой поверхности прутка:
.
Напряжения в каждой точке сечения направлены по нормали к прямой, соединяющей данную точку с центром сечения прутка. Суммарное напряжение τ от поперечной силы Q и крутящего момента Мк в каждой точке сечения прутка можно определить путем геометрического сложения напряжений и (рис. 5.29, в). В точке С сечения прутка, наиболее близко расположенной к оси пружины, напряжения и совпадают по направлению и, кроме того, значение в этой точке максимально. Таким образом, суммарное напряжение т в точке С имеет наибольшее значение
(5.52)
Обычно второе слагаемое в круглых скобках формулы (5.25) значительно меньше единицы [в большинстве случаев D/d= 5...10 и, следовательно, d/(2D) = 0,05. ..0,1] и им можно пренебречь; это равносильно пренебрежению напряжениями от поперечной силы по сравнению с напряжениями от кручения. Тогда формула (5.52) примет вид
(5.53)
Из формулы (5.53) следует, что увеличение диаметра пружины уменьшает, а увеличение диаметра прутка увеличивает ее прочность.
Для обеспечения прочности пружины величина τтах не должна превышать значения допускаемого напряжения [τ]. Пружины изготовляются из высококачественной стали, поэтому значения допускаемых напряжений весьма высоки: [τ] = 20... 80 кН/см2;
(5.54)
Формулы (5.26) и (5.27) являются приближенными. Используя результаты, полученные при определении напряжений в пружинах уточненными методами, условие прочности можно также представить в виде
(5.55)
где k — поправочный коэффициент, определяемый на основе точных методов расчета пружин. Его значение можно вычислять по формуле
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
