Решения стационарного уравнения шредингера на многообразиях с квазимодельными концами (стр. 2 )

Всюду в дальнейшем будем считать, что – гладкое исчерпание конца , т. е. последовательность предкомпактных открытых подмножеств конца с гладкими границами таких, что , для всех и . Пусть является решением следующей задачи Дирихле в ,

Последовательность функций в силу принципа максимума убывает и ограничена снизу нулем. Тогда существует предельная функция , которая является L-гармонической и . Функцию называют L-гармонической мерой конца (см., например, [5]).

Говорят, что конец имеет L-гиперболический тип, если его L-гармоническая мера не равна тождественно нулю. В противном случае будем говорить, что конец имеет L-параболический тип (см., например, [5]).

Замечание. Квазимодельный конец имеет L-гиперболический тип тогда и только тогда, когда (см., например, [4]).

Переобозначим для фиксированного через , объекты , , , , , , , , , , , соответственно через , , , , , , , , , , , .

Определение 1. Будем говорить, что число является пределом функции по концу и использовать обозначение , если для некоторого исчерпания конца выполнено равенство . Будем говорить, что предел функции по концу равен бесконечности и писать (), если ().

Заметим, что данное определение предела не зависит от выбора исчерпания (см., например, [6]).

Пусть – ортонормированный базис в из собственных функций оператора (где – оператор Лапласа–Бельтрами на ) и –соответствующие собственные числа ().

Обозначим . Пусть . Поступая, как и в [4], получаем, что для любого справедливо следующее разложение

, (2)

где

. (3)

Заметим, что функция является решением следующего обыкновенного дифференциального уравнения

. (4)

Свойства решений уравнения (4) достаточно подробно описаны в приложении (см. ниже) и в работах [2]–[4], [7], [8].

Обозначим через объем компакта , . Заметим, что из ортонормированности базиса в следует, что

, (5)

Пусть – мультииндекс, .

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 1.1. Если – конец типа b, то для любой функции существует конечный предел . Если – конец типа g, то для любой функции существует конечный или бесконечный предел .