Решения стационарного уравнения шредингера на многообразиях с квазимодельными концами (стр. 1 )

УДК 517.95

РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА НА МНОГООБРАЗИЯХ С КВАЗИМОДЕЛЬНЫМИ КОНЦАМИ

© 2008 г. ,

Введение

В работе изучается поведение решений стационарного уравнения Шредингера

(1) на римановых многообразиях с конечным числом концов специального вида. Здесь – гладкая неотрицательная функция. Всюду в дальнейшем решения уравнения (1) будем называть L-гармоническими функциями. Целью работы является оценка размерностей некоторых пространств L-гармонических функций на рассматриваемых многообразиях.

Отметим, что оценки размерностей различных пространств решений эллиптических уравнений на некомпактных римановых многообразиях были получены в работах ряда математиков. Достаточно подробный обзор данной тематики приведен, например, в работе [1].

В работе рассматриваются многообразия , представимые в виде , где – некоторый предкомпакт, а – связные неограниченные компоненты, каждая из которых изометрична прямому произведению с метрикой . Здесь – компактные римановы многообразия без края, – положительные гладкие на функции, – метрика на . Многообразия будем называть многообразиями с квазимодельными концами . В случае, когда некоторый конец изометричен прямому произведению , где – компакт, конец называется модельным. Заметим, что в поведении решений эллиптических уравнений на многообразиях с квазимодельными и модельными концами есть отличия. Например, на многообразиях с модельными концами из выполнения теоремы Лиувилля для ограниченных гармонических функций следует выполнение теоремы Лиувилля для ограниченных решений уравнения , где (см. [2]). На произвольных многообразиях с квазимодельными концами данное свойство не выполняется (см. [3]).

Будем рассматривать пространства , и конус , где – пространство ограниченных L-гармонических на функций, – пространство L-гармонических на функций, ограниченных с одной стороны на каждом конце многообразия , – конус неотрицательных L-гармонических на функций.

Всюду далее будем предполагать, что в (1) на каждом конце многообразия, причем – ограниченные на функции, , .

Пусть . Введем обозначения

, ,

,

, , .

Очевидно, что на каждом конце выполнено в точности одно из следующих условий:

a) и существует , , такое, что ;

b) , для всех ;

g) и для всех ;

d) и существует , , такое, что .

Будем называть конец концом типа a (b, g, d, соответственно), если на нем выполнены условия пункта a (b, g, d, соответственно).

В работе получены следующие оценки размерностей пространств , и конуса .

Теорема 1. Пусть – многообразие с квазимодельными концами, имеющее концов типа b, концов типа g и не имеющее концов других типов. Тогда , .

Замечание 1. В работе [4] показано, что в случае, когда имеет хотя бы один конец типа a, пространства , и конус являются бесконечномерными.

Замечание 2. В условии теоремы 1 допускается случай, когда , т. е. когда многообразие не имеет концов L-гиперболического типа.

1 L-гармонические функции на квазимодельных концах

Обозначим через конус неотрицательных L-гармонических на конце функций, через и – пространства ограниченных и ограниченных с одной стороны L-гармонических на функций, соответственно.