Решения стационарного уравнения шредингера на многообразиях с квазимодельными концами (стр. 4 )

, . (10)

Рассмотрим решения и уравнения (4) (см. доказательство леммы 1.2). В силу ограниченности из предложения 3.1 (см. приложение) получаем, что . Тогда решения и образуют базис пространства решений уравнения (4) при и справедливо

, , (11)

где , , , – некоторые константы. Заметим, что т. к. , то из (11) и (10) следует, что . Очевидно, что при функция . Лемма 1.3 доказана.

2 L-гармонические функции на многообразиях с квазимодельными концами

Пусть – некоторый конец L-гиперболического типа. Заметим (см., например, [5]), что в этом случае существует такая, что

(12)

Кроме того, если имеет тип b, то в силу леммы 1.1 и принципа максимума,

Всюду далее будем рассматривать многообразия, которые не имеют концов типа a и d. Для оценки размерностей пространств , и конуса перейдем к построению базисных функций.

Лемма 2.1. Пусть – конец типа b. Тогда существует единственная неотрицательная ограниченная L-гармоническая на функция такая, что

(a)

(b) для всякого другого конца типа b,

(c) существуют конечные пределы функции по всем концам типа g.

Доказательство. Как и в [4], на существует единственная неотрицательная ограниченная L-гармоническая функция такая, что и для всякого другого конца типа b. Существование конечных пределов функции по всем концам типа g следует из ограниченности функции на и леммы 1.1. Лемма 2.1 доказана.

Лемма 2.2. Пусть – конец типа g. Тогда существует единственная (с точностью до умножения на константу) неотрицательная L-гармоническая на функция такая, что

(a) ,

(b) для всякого конца типа b (если содержит хотя бы один конец типа b),

(c) функция ограничена на .

Доказательство. Из леммы 1.2 следует, что на существует L-гармоническая функция такая, что , . Продолжим по непрерывности функцию нулем всюду на .

Рассмотрим последовательность функций, являющихся решением задачи

где – гладкое исчерпание , т. е. последовательность предкомпактных открытых подмножеств многообразия с гладкими границами таких, что для всех и .

Докажем сначала, что последовательность равномерно ограничена на . Предположим противное. Тогда существует подпоследовательность такая, что при . Полагаем и на . Тогда

(13)

Применяя принцип максимума для функции сначала на , а затем на , получаем, что

на . (14)

Из последнего следует, что локально равномерно ограничена на . Тогда существует подпоследовательность последовательности , сходящаяся равномерно к некоторой предельной функции на любом компактном подмножестве многообразия , причем на и на . Заметим также, что выбирая подходящим образом подпоследовательность последовательности , можно считать, что . Пришли к противоречию с принципом максимума.