Решения стационарного уравнения шредингера на многообразиях с квазимодельными концами (стр. 3 )

Доказательство. Пусть вначале и . Не умаляя общности, считаем, что функция ограничена сверху на неотрицательной константой . Покажем, что на существует неотрицательная ограниченная L-гармоническая функция такая, что . Рассмотрим последовательность функций , являющихся решением задачи

где, как и ранее, – гладкое исчерпание конца . В силу принципа максимума, последовательность ограничена, монотонно убывает и сходится к искомой функции .

В силу принципа максимума. Представим функцию в виде (2). Из (3) следует, что

(6)

В случае в силу формулы (5) имеем

. (7)

В случае , используя положительность функций и на , а также ограниченность на , из формул (6) и (7) получаем существование таких констант и , что

(8)

Заметим, что в случае, когда из (3) и (5) сразу следует справедливость оценки (8) для и некоторой константы .

Предположим, что при . Учитывая оценку (8), получаем, что при . Из предложения 3.3 (см. приложение) следует, что . Пришли к противоречию с (8). Отсюда, учитывая предложение 3.2 (см. приложение) получаем, что при . Из последнего, как и в [4], получаем, что ряд (2) для функции сходится равномерно на , откуда, учитывая (5), получаем

(9)

В случае, когда имеет тип b, из предложения 3.2 (см. приложение) получаем, что . Учитывая формулу (9), получаем, что в этом случае существует конечный предел .

Если же имеет тип g, из предложения 3.2 (см. приложение) следует, что при , либо . Учитывая формулу (9), получаем требуемое. Лемма доказана.

Следствие 1.1. Пусть многообразие имеет концов типа g и не имеет концов типа a и d. Предположим, что и пределы функции по всем концам типа b равны нулю. Тогда на .

Замечание. Если не содержит концов L-параболического типа, то утверждение следствия 1.1 сразу следует из принципа максимума.

Доказательство. Пусть , – концы типа g. Представляя функцию по формуле (2), а затем используя доказанную выше лемму и принцип максимума, несложно показать, что для всех . Из последнего, в силу принципа максимума, следует требуемое.

Лемма 1.2. Пусть – конец, имеющий тип g. Тогда для любой константы существует L-гармоническая на функция такая, что и .

Доказательство. Построим искомую функцию . Обозначим решение уравнения (4) при с начальными данными , через . В силу предложения 3.1 (см. приложение) при . Из предложения 3.4 (см. приложение) следует, что при существует ограниченное решение уравнения (4) такое, что . Обозначим его через . Нетрудно проверить, что является искомой функцией.

Лемма 1.3. Пусть – конец, имеющий тип g. Пусть также , , причем . Тогда существует такая константа , что функция .

Доказательство. Представим функции , , на по формуле (2). Как и в доказательстве леммы 1.1, на имеем