Решения стационарного уравнения шредингера на многообразиях с квазимодельными концами (стр. 5 )

Таким образом, предположение о том, что при не верно, откуда следует, что последовательность равномерно ограничена на . Из последнего получаем локальную равномерную ограниченность последовательности на , откуда следует, что существует .

Положим , где, как и ранее, . Применяя принцип максимума для функции на , получаем, что на . Переходя к пределу при , получаем в силу того, что . Свойство (a) функции доказано.

Пусть содержит хотя бы один конец типа β. Т. к. на и на , в силу принципа максимума получаем на для всякого конца типа b. Отсюда следует, что на . Из равенства следует, что для всякого конца типа b. Свойство (b) доказано.

Заметим, что на и на . В силу принцип максимума, имеем на . Переходя к пределу при , заключаем, что функция ограничена и неотрицательна на . Свойство (c) доказано.

Таким образом, искомая функция построена. Покажем, что она будет единственной (с точностью до умножения на константу). Предположим, что существуют две функции и , пределы которых по концам типа b равны нулю (если содержит такие концы), пределы по концу равны бесконечности, и на эти функции являются ограниченными. Из леммы 1.3 следует существование такой константы , что функция является ограниченной на . Очевидно, что пределы функции по концам типа b равны нулю и функция является ограниченной на . Тогда, в силу следствия 1.1, получаем, что на , откуда . Лемма 2.2 полностью доказана.

Таким образом, для произвольного многообразия , имеющего концов типа b, концов типа g и не имеющего концов других типов, мы можем построить набор неотрицательных L-гармонических функций . Очевидно, что построенные функции являются линейно независимыми на .

Теорема 1. Пусть – многообразие с квазимодельными концами, имеющее концов типа b, концов типа g и не имеющее концов других типов. Тогда , .

Доказательство. Покажем, что набор функций является базисом пространства . Пусть – произвольная ограниченная L-гармониче­ская на функция. Тогда из леммы 1.1 следует, что на каждом конце типа b существуют конечные пределы функции . Пусть – набор этих пределов. Тогда функция имеет нулевые пределы по концам типа b и ограничена на . Из следствия 1.1 получаем, что , откуда, в силу линейной независимости функций , следует, что .

Пусть теперь . В силу леммы 1.1, существуют пределы функции по всем концам типа b. Рассмотрим функцию . Очевидно, что пределы функции по всем концам типа b равны нулю. Из леммы 1.3 следует, что можно подобрать такие константы , что функция будет ограниченной на , а ее пределы по концам типа b будут по-прежнему равны нулю (в силу равенства нулю пределов функций , , по таким концам). Из следствия 1.1, учитывая линейную независимость функций , получаем, что . Заметим, что т. к. , , и , , то . Теорема 1 доказана.