Решения стационарного уравнения шредингера на многообразиях с квазимодельными концами (стр. 6 )

Замечание 1. Теми же методами, что и в [7], можно ослабить условия на потенциал . А именно, для справедливости полученных результатов достаточно, чтобы на каждом конце существовала такая функция , что – ограниченные на функции, , , и для некоторых неотрицательных констант и .

Замечание 2. Как и в [8], несложно показать справедливость полученных утверждений в случае, когда каждый конец является скрещенным произведением порядка , т. е. когда каждый конец изометричен прямому произведению с метрикой

.

Здесь – положительные гладкие на функции, – компактные римановы многообразия без края, – метрика на , – положительные гладкие функции на .

3 Приложение

Приведем необходимые утверждения, касающиеся решений уравнения (4). Данные предложение доказываются теми же методами, что и аналогичные утверждения, приведенные в работах [2]–[4], [7], [8].

Будем использовать те же обозначения, что и выше.

Предложение 3.1. Пусть – решение уравнения (4). Предположим, что выполнено хотя бы одно из следующих условий

(1) и ,

(2) .

Тогда, если при некотором выполнено , причем и не равны нулю одновременно, то .

Предложение 3.2. Пусть – решение уравнения (4). Тогда

(1) если и при фиксированном , , то либо , либо ;

(2) если , то либо , либо . При этом, если при фиксированном , , то , либо ;

(3) если , то .

Предложение 3.3. Пусть , , – ограниченные на функции, а – решение уравнения (4), причем и при фиксированном . Пусть также выполнено хотя бы одно из следующих условий:

(1) , ;

(2) и .

Тогда .

Предложение 3.4. Пусть выполнено хотя бы одно из следующих условий:

(1) при фиксированном и ;

(2)

Тогда для любого мультииндекса и для любого числа существует по крайней мере одно ограниченное решение уравнения (4) такое, что .

Литература

1.  Grigor`yan A. Analitic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds // Bull. Amer. Math. Soc. 1999. V. 36. P 135–249.

2.  О взаимосвязи некоторых лиувиллевых теорем на римановых многообразиях специального вида // Изв. вузов. Математика. 1997. N 10. С 31–37.

3.  О некоторых лиувиллевых теоремах на некомпактных римановых многообразиях // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39. N 1. С 84–90.

4.  , Ограниченные решения уравнения Шредингера на римановых произведениях // Алгебра и анлиз. 2001. Т.13. Вып.1. С 84–110.

5.  Kim S. W., Lee Y. H. Generalized Liouville property for Schrodinger operator on Riemannian manifolds. Math. Z. 2001. V. 238. P 355–387.

6.  Краевые задачи для стационарного уравнения Шредингера на римановых многообразиях // Сибирский математический журнал. 2002. Т.43. N 3. С 591–599.

7.  Уравнение Шредингера на искривленных римановых произведениях // Труды по анализу и геометрии. Новосибирск. Изд-во ИМ СО РАН. 2000. С 350–369.

8.  Гармонические функции предписанного роста на квазимодельных римановых многообразиях // Укр. мат. вестник. 2004. Т.1. N 2. С 230–243.