Модели и методы планирования экспериментов, обработки экспериментальных данных (стр. 23 )

Затем поверяется гипотеза о диагональности ковариационной матрицы.

Выдвигается нулевая гипотеза:

Н0: соv=0, и альтернативная Н1: соv.

Рассчитывается статистика , которая распределяется по закону с степенями свободы.

Если расчетное значения критерия будет больше табличного значения

> , то гипотеза Н0 отвергается и принимается альтернативная Н1: значима, что подтверждает мультиколлениарность данных, следовательно имеет смысл проводить компонентный анализ.

Для выделения главных компонент на уровне информативности 0,85 пользуются мерой информативности, которая показывает, какую часть или какую долю дисперсии исходных переменных составляют k-первых главных компонент. На заданном уровне информативности выделяются k главных компонент.

Для решения данной задачи необходимо использовать пакет прикладных программ статистического анализа, например, Statgraphics Plus.

Программа выдает матрицу коэффициентов корреляции A между центрировано – нормированными исходными переменными и ненормированными главными компонентами размерностью (n x k):

 

Z = X A.

Коэффициенты показывают наличие, силу и направление линейной связи между соответствующими исходными переменными x1 - xn и соответствующими главными компонентами z1 – zk . Уравнение в матричной форме записи принимает вид:

Программа выдает матрицу наблюденных значений главных компонент Z размерностью (n x k):

Используя значения главных компонент, строится модель главных компонент:

xji = a1i zj1 + a2i zj2 + a3i zj3 +……+ aki zjk , j=1, 2, ..N, i = 1, 2, ..n.

Для интерпретации используется, как правило, наиболее весомые главные компоненты. Уравнение регрессии на выделенные главные компоненты строится методом множественной регрессии. Оценивается значимость уравнения регрессии в целом и значимость коэффициентов регрессии при главных компонентах:

y = b0 + b1z1 + b2z2 + …. + bkzk .

 

Подставляя в полученное уравнение значения главных компонент z1 – zk , выраженные через центрированные переменные x1 - xn, получаем окончательное уравнение регрессии:

y = c0 + c1x1 + c2x2 + …. + cnxn.

Это уравнение отличается более высокой точностью, чем получаемое с использованием классического метода наименьших квадратов.

Пример

Имеются данные, описывающие зависимость результирующей переменной y от факторных переменных x1 – x3 (таблица 1)

Таблица 1 – Исходная выборка

х1	х2	х3	у
1,1	1,1	1,2	26,2
1,4	1,5	1,1	25,9
1,7	1,8	2	32,5
1,7	1,7	1,8	31,7
1,8	1,9	1,8	31,7
1,8	1,8	1,9	33,6
1,9	1,8	2	34,2
2	2,1	2,1	34,4
2,3	2,4	2,5	35,5
2,5	2,5	2,4	36,5

1) Подготовим данные для использования пакета Statgraphics Plus. Данные вводим непосредственно в Statgraphics Plus путем копирования таблицы 1 с данными.

Убираем с экрана лишние надписи путем удаления соответствующих строк и колонок таблицы с импортированными данными. Выполняем форматирование данных по каждой колонке в отдельности. Для этого помечаем мышью редактируемую колонку с данными. Входим в пункт меню редактирования Edit. Выбраем режим Modify Column. Установим формат данных с фиксированной точкой с необходимым числом цифр после запятой, например, с двумя цифрами после запятой Fixed Decimal 2 .

При этом необходимо запомнить размещение данных во вновь полученной таблице 2 по колонкам Col 1 - Col 4 .

Таблица 2 – Исходная выборка в Statgraphics Plus

Col_ 1	Col_ 2	Col_ 3	Col_ 4
1,10	1,10	1,20	26,20
1,40	1,50	1,10	25,90
1,70	1,80	2,00	32,50
1,70	1,70	1,80	31,70
1,80	1,90	1,80	31,70
1,80	1,80	1,90	33,60
1,90	1,80	2,00	34,20
2,00	2,10	2,10	34,40
2,30	2,40	2,50	35,50
2,50	2,50	2,40	36,50

2) Проверим мультиколлениарность факторов x1–x3. Мультиколлениарность оцениваем по результатам анализа матрицы парных коэффициентов корреляции. Для расчета матрицы парных коэффициентов корреляции и выдачи ее на печать с исходными данными необходимо вызвать в главном меню программу Summary stats. В окно Data записать колонки Col_1, Col_2, Col_3, нажать ОК. Вызвать подменю Tabular options. В окне табличных настроек поставить флажок напротив Correlations, нажать клавишу OK. При этом на экране появится матрица коэффициентов парной корреляции. Для записи матрицы в таблицу с данными необходимо вызвать пункт подменю Save results, в окне Correlations установить флажок и нажать ОК. Файлу будет приписан идентификатор CMAT. Матрица коэффициентов парной корреляции будет продолжением таблицы с исходными данными с колонками CMAT_1, CMAT_2, CMAT_3. Матрица коэффициентов парной корреляции для рассматриваемого примера имеет вид табл. 3.

Таблица 3- Матрица парных коэффициентов корреляции

CMAT_1	CMAT_2	CMAT_3
1,0	0,985	0,931
0,985	1,0	0,915
0,931	0,915	1,0

Коэффициенты парной корреляции больше 0,8 что свидетельствует о коррелированности данных, следовательно, имеет смысл проводить компонентный анализ.

3) Выделим главные компоненты, построим уравнение главных компонент. Для выделения главных компонент воспользуемся специальной программой. Для этого в главном меню необходимо вызвать программу главных компонент: Special \ Multivariate Methods \ Principal Components. В окно Data внесите имена колонок с исходными данными Col_1, Col_2, Col_3, нажать ОК.

Для получения данных компонентного анализа вызываем подменю Tabular options и помечаем окно Analysis Summaru, нажимаем ОК. При этом на экране отобразятся результаты анализа (таблица 4):

Таблица 4- Главные компоненты

Principal Components Analysis -------------------------------------------------- Component Percent of Cumulative Number Eigenvalue Variance Percentage 1 2,888 96,26 96,26 2 0,0985 3,28 99,54 3 0,0137 0,45 100,00 --------------------------------------------------

 

На уровне информативности 95% и выше выделяется одна главная компонента. Она имеет наибольшую дисперсию, равную 96,26%. Использование второй главной компоненты не приводит к существенному увеличению дисперсии (всего на 3,28%). Главная компонента является линейной комбинацией исходных данных x1 – x3. Для выдачи на печать параметров модели необходимо пометить окно Component Weights. При этом на экране появятся параметры модели (таблица 5).