Модели и методы планирования экспериментов, обработки экспериментальных данных (стр. 9 )

Проведем статистическую обработку данных эксперимента. По формулам (2) рассчитаем коэффициенты уравнения регрессии:

b0=69,896; b1=-7,035; b2=12,509; b11=-0,323; b22=0,177; b12=7.

Рассчитаем оценки дисперсии коэффициентов регрессии по уравнениям (3): S2b0=3: S2b1=1,875; S2b2=1,875; S2b11=2,157; S2b22=2,157: S2b12=3,75.

Проверим значимость коэффициентов уравнения регрессии. Табличное значение критерия Стьюдента tт=2,31 для f=8 и уровня значимости α=0.05. Рассчитаем характеристики для всех коэффициентов уравнения регрессии: t0=69,896/√3=40,35>2,31; t1=5,12>2,31; t2=9,13>2,31; t11=0,22<2,31; t22=0,12<2,31; t12=3,61>2,31.

Незначимыми являются коэффициенты b11=-0,323 и b22=0,177 при квадратичных составляющих уравнения регрессии. Их отбросим из структуры модели. Проведем повторные расчеты коэффициентов уравнения регрессии вида.

После исключения незначимых коэффициентов уравнение регрессии принимает вид: (4)

Проверим адекватность модели. При ненасыщенном планировании остаточная сумма рассчитывается по формуле

Здесь – величина, предсказанная уравнением модели, – найденная экспериментально.

Остаточная дисперсия характеризует неадекватность модели и также является несмещенной оценкой дисперсии ошибок наблюдения:

σR2 =S2R[N-(k+1)(k+2)/2]=55,59/[13-(2+1)(2+2)/2]=7,941.

Адекватность модели проверяем по критерию Фишера:

.

Полученное уравнение адекватно описывает экспериментальные данные. В дальнейшем его можно использовать для оптимизации процесса с помощью одного из методов нелинейного программирования.

Знание нулевых уровней и интервала варьирования факторов (табл.3) позволяет записать уравнение (4) в физических переменных.

x1=(z1-80)/20=0,05z1-4; x2=(z2-1)/0,5=2z2-2;

x1x2=(0,05z1-4)( 2z2-2)=-0,1z1-8z2+0,1z1z2+8.

y=128,928 – 1,0518z1 -30,978z2 + 0,7z1z2

Таблица 3 – Значения нулевых уровней и интервалов варьирования

факторов

Наименование	z1, (0С)	z2, (pH)
Нулевой уровень	80	1,0
Интервал варьирования	20	0,5

Используя уравнение регрессии в физических переменных, исследователь избавляется от необходимости при поиске оптимальных условий переводить каждый раз условия опыта в безразмерные переменные. Однако, при переходе к физическим переменным пропадает возможность интерпретации влияния факторов по величинам и знакам коэффициентов регрессии.

4.3 Задание к лабораторной работе

1) Построить матрицу планирования РЦКП для получения квадратичной модели.

2) Рассчитать дисперсию воспроизводимости опытов σ2восп по данным эксперимента в центре плана.

3) Рассчитать значения коэффициентов регрессии в кодированных значениях переменных.

4) Определить дисперсию погрешности коэффициентов регрессии.

5) Оценить значимость расчетных коэффициентов. Отбросить незначимые коэффициенты из уравнения регрессии. Повторно рассчитать коэффициенты уравнения регрессии.

6) Рассчитать остаточную дисперсию погрешности регрессионного уравнения.

7) Оценить адекватность уравнения регрессии.

8) Провести интерпретацию влияния факторов по величинам и знакам коэффициентов регрессии.

9) Записать уравнение регрессии в фактических значениях переменных.

4.4 Порядок выполнения лабораторной работы

1) Ознакомиться с методом регрессионного анализа при ротатабельном планировании.

2) Получить от преподавателя задание на лабораторную работу.

3).Ознакомиться с матрицей РЦКП и результатами эксперимента. Пустые столбцы матрицы заполнить коэффициентами для последующего расчета коэффициентов модели.

4) Рассчитать дисперсию воспроизводимости опытов σ2восп по данным эксперимента в центре плана.

5) Рассчитать параметры регрессионного уравнения.

6) Определить дисперсию погрешности вычисления коэффициентов регрессии.

7) Оценить значимость расчетных коэффициентов регрессии с помощью t-критерия Стъюдента. Отбросить незначимые коэффициенты из структуры модели.

8) Повторно рассчитать коэффициенты уравнения регрессии.

9) Рассчитать остаточную дисперсию погрешности модели.

10) Проверить адекватность уравнения регрессии по F - критерию Фишера.

11) Провести интерпретацию влияния факторов по величинам и знакам коэффициентов регрессии.

12) Записать уравнение регрессии в фактических значениях переменных.

4.5 Содержание отчета

1) Индивидуальное задание.

2) Матрица планирования РЦКП с результатами эксперимента.

3) Расчеты дисперсии воспроизводимости опытов.

4) Расчеты параметров уравнения регрессии и дисперсии погрешностей вычисления параметров уравнения.

5) Оценка значимости расчетных коэффициентов регрессии.

6) Уравнение регрессии в кодированных значениях факторных переменных.

7) Расчеты остаточной дисперсии погрешности модели.

8) Результаты проверки адекватности уравнения регрессии.

9) Интерпретация влияния факторов по величинам и знакам коэффициентов регрессии.

10) Уравнение регрессии в фактических значениях факторных переменных.

11) Выводы по результатам РЦКП.

4.6 Вопросы для самоконтроля

1. В чем сущность ротатабельного центрального композиционного планирования?

2. Как строится матрица планирования РЦКП в кодированных и физических переменных.

3. Что такое «звездное плечо», и из каких соображений выбирается его значение?

4. Как проверяется гипотеза о значимости коэффициентов регрессии?

5. Как проверяется гипотеза об адекватности уравнения регрессии экспериментальным данным?

6. Какую область описывает уравнение регрессии, полученное с помощью РЦКП и в каких пределах можно его использовать?

4.7 Список рекомендуемой литературы

1. http://t. ru/

2. Математические методы планирования и анализа эксперимента. Методические указания к лабораторным работам. Ленинград, 1978.-20с.

3. , Чернова методы планирования экстремальных экспериментов. М.: Наука, 1965.-340 с.

4.8 Варианты заданий

Вариант 1. Требуется получить математическое описание химико-технологического процесса, для которого выход целевого продукта у (%) зависит от температуры в реакторе z1 (0С), pH среды z2 , времени протекания реакции z3 (мин)[2]. Матрица планирования с результатами эксперимента приведена в таблице 4. Заполнить пустые столбцы матрицы для расчета коэффициентов регрессии.

Таблица 4 – Матрица двухфакторного РЦКП и результаты эксперимента

Фрагмент плана	Номер опыта	х1	х2	x3	х12	х22	x32	х1х2	x1x3	x2x3	у
ПФЭ	1 2 3 4 5 6 7 8	+1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1	+1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1	+1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1							82 82 42 70 60 80 48 70
Опыты в звездных точках	9 10 11 12 13 14	-1,682 +1,682 0 0 0 0	0 0 -1,682 +1,682 0 0	0 0 0 0 1,682 1,682							80 60 54 88 85 74
Центр плана	15 16 17 18 19 20	0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0							70 68,84 70,94 74,64 65,06 70

Вариант 2. Требуется получить математическое описание химико-технологического процесса, для которого выход целевого продукта у (%) зависит от температуры в реакторе z1 (0С) и pH среды z2 . Матрица планирования с результатами эксперимента приведена в таблице 5. Заполнить пустые столбцы матрицы для расчета коэффициентов регрессии.

Таблица 5 – Матрица двухфакторного РЦКП и результаты эксперимента

Фрагмент плана	Номер опыта	х0	х1	х2	х12	х22	х1х2	у
ПФЭ	1 2 3 4	1 1 1 1	+1 -1 +1 -1	+1 +1 -1 -1				76,2 99,98 48,2 78,1
Опыты в звездных точках	5 6 7 8	1 1 1 1	-1,414 +1,414 0 0	0 0 -1,414 +1,414				95,8 57 50,2 94
Центр плана	9 10 11 12 13	1 1 1 1 1	0 0 0 0 0	0 0 0 0 0				70 68,84 70,94 74,64 65,06

Вариант 3. Требуется получить математическое описание химико-технологического процесса, для которого выход целевого продукта у (%) зависит от температуры в реакторе z1 (0С) и pH среды z2 . Матрица планирования с результатами эксперимента приведена в таблице 6. Заполнить пустые столбцы матрицы для расчета коэффициентов регрессии.