Использование этих свойств позволяет находить корни квадратных уравнений с любыми
коэффициентами, не обращаясь к формулам корней.
Приведенные ниже проблемные задания направлены как на выявление и формулирование учащимися этих свойств, так и на их применение. Они могут быть использованы на разных этапах проблемного урока.
Установите общий вид квадратных уравнений, исследовав взаимоотношения между коэффициентами и свободным членом в каждом из уравнений, а затем сделайте вывод о том, каковы их корни:
, 
, 
Являются положительные взаимно обратные числа, а корни уравнений
им противоположны. Найдите корни всех уравнений и установите их связь с коэффициентами и свободным членом.
на их произведение получено число 
. Найдите эти корни. Дано квадратное уравнение 
, один из корней которого равен старшему коэффициенту и свободному члену, взятому с противоположным знаком. Найдите второй корень, неизвестный коэффициент и свободный член. Выразите их через старший коэффициент. известно, что в квадратном уравнении один из коэффициентов равен свободному члену и их значение совпадает со значением одного из корней 
. Другой коэффициент равен квадрату этого числа, увеличенному на единицу. Запишите квадратное уравнение и найдите второй корень. Известно, что в квадратном уравнении оба коэффициента и свободный член имеют одинаковые знаки, причем один из коэффициентов равен свободному члену и их значение совпадает с абсолютным значением одного из корней 
. Другой коэффициент равен квадрату этого числа, увеличенному на единицу. Запишите квадратное уравнение и найдите второй корень. Заполните пропуски в таблице (табл. 1) и сделайте выводы. Выполняя задания 1 – 7, учащиеся должны установить следующее правило:
Если в квадратном уравнении 
второй коэффициент отрицательный, то корнями уравнения являются числа 
; если второй коэффициент положительный, то корнями уравнения являются числа 
.
. Найдите эти корни и запишите соответствующее квадратное уравнение. Выразите его коэффициенты и свободный член через значения числителей и знаменателей дробей, являющихся корнями уравнения. Даны два числа 
и 
. Определите, корнями каких из приведенных ниже уравнений они являются, и найдите для них недостающие корни: 
Установите связь между корнями уравнения и х коэффициентами и свободным членом.
Даны уравнения (табл. 2). Исследуйте взаимосвязь между коэффициентами и свободным членом квадратных уравнений в каждом столбце. Установите общий вид квадратных уравнений. Допишите в каждом столбце по 5 уравнений соответствующего вида и решите их. Сделайте вывод.Решая задачи 8 – 11, учащиеся выявляют новое свойство квадратных уравнений:
Если в квадратном уравнении 
Если в квадратном уравнении
Исследовав значения коэффициентов и свободных членов квадратных уравнений, разделите их на группы. Для каждой группы установите общий вид. Сделайте вывод о корнях уравнений и их связи с коэффициентами и свободным членом.
Выполнение последнего задания позволяет учащимся установить четыре свойства квадратных уравнений, использование которых дает возможность быстро находить корни
обращаясь к формулам корней:
Два других свойства сформулированы выше.
Таблица 1.
Таблица 2.
Пример 3.
Исследовательская работа в группах
1.Задача.
Чему равна сумма углов выпуклого пятиугольника?
2.Проблема.
Как зависит сумма углов выпуклого n-угольника от числа углов многоугольника и от числа треугольников, на которые он разбивается диагоналями, проведенными из одной вершины?
3.Пробы.
4.Таблица результатов.
Пробы | 1 | 2 | 3 | 4 |
Число углов | 3 | 4 | 5 | 6 |
Число треугольников | 1 | 2 | 3 | 4 |
Сумма углов | 1800 | 3600 | 5400 | 7200 |
5.Гипотезы.
1). Сумма углов выпуклого n-угольника равна произведению (n-2) треугольника на 1800.
2). Сумма углов выпуклого n-угольника равна произведению (n-2) угла на 1800.
1800 = (3-2)*1800, 3600 = (4-2)*1800, 5400 = (5-2)*1800, 7200 = (6-4)*1800
Значит, сумма углов n-угольника равна (n-2)1800.
6.Проверка гипотез.
Пусть n=7, тогда
а) фактическая сумма углов семиугольника равна 9000,
б) сумма углов согласно гипотезе равна (7-2)*1800 = 9000
Заключение по проверке:
гипотезы 1 и 2 получили подтверждение,
гипотеза 1 равносильна гипотезе 2.
7.Доказательство гипотез.
Рассмотрим выпуклый n-угольник А1А2А3 …Аn-1Аn. Найдем сумму углов многоугольника. Для этого соединим диагоналями одну вершину с другими вершинами. В результате получим n-2 треугольника, сумма углов, которых равна сумме углов n-угольника. Сумма углов каждого треугольника равна 1800, поэтому сумма углов многоугольника равна (n-2)1800.
Обсуждение результатов работы групп поэтапно.
Группа оценивает работу каждого участника исследования, оценка вносится в рабочую карту. Учебно-исследовательскую карту сдают на проверку учителю.
Пример
Тема «Теорема Пифагора».
Предлагаю решить задачу: на охоте с двух отвесных скал два охотника заметили козла и одновременно в него выстрелили, причем стрелы достигли цели одновременно. Охотники одновременно начали спуск к добыче с одинаковой скоростью (см. рисунок).
Пример 4.
Тема «Теорема Пифагора».
Предлагаю решить задачу: на охоте с двух отвесных скал два охотника заметили козла и одновременно в него выстрелили, причем стрелы достигли цели одновременно. Охотники одновременно начали спуск к добыче с одинаковой скоростью (см. рисунок).
Проблемная ситуация возникает при построении математической модели практической задачи. Она рассматривается с помощью вопросов. Как на чертеже изображаются…
1) скалы?
2) расстояние между ними?
3) путь каждой стрелы?
4) путь каждого охотника?
5) что означает факт, что стрелы достигли цели одновременно?
Анализ задачи позволяет заключить, что на данном этапе задачу решить нельзя, так как невозможно использовать равенство отрезков DС и СЕ, которые являются гипотенузами прямоугольных треугольников. Если бы зависимость между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике была известной, можно было бы в каждом треугольнике выразить гипотенузу через катеты и полученные выражения приравнять.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
