Волновые процессы в областях сложной формы в терминах композитных поверхностных интегральных операторов (стр. 2 )

где и - производные по времени и по координате соответственно, , и - -матрицы скалярных параметров среды. - матричный дифференциальный оператор. Для матриц , и дифференциального оператора справедливы следующие свойства:

матрица в общем случае не обязательно симметрична. Поскольку система является общей записью для уравнений акустических, упругих, электромагнитных, оптических и различных других волн, эту систему удобно называть мультифизическим волновым уравнением.

Столбец состоит из кинематических и динамических переменных [4], [21], [33]. Кинематические переменные (векторы скорости частиц в жидкости, векторы скорости частиц в твердом теле и векторы электрических полей) собираются в “кинематическую” часть столбца решений . Динамические переменные (скалярный компонент давления жидкости, компоненты тензора напряжений и векторы магнитного поля) собираются в “динамическую” часть столбца решений . С учетом обозначений, введенных в [39], [41], а также необходимых алгебраических преобразований, рассмотренных в [10], [16], получается система из двух матричных уравнений:

где - матрица, состоящая из параметров плотности и диэлектрической проницаемости, матрицы - матрицы податливости, составленная из матриц, обратных к матрицам модулей упругости, - некоторые матрицы, и - объёмные плотности внешних сил, - дифференциальные матричные операторы. Легко заметить, что матричные уравнения представимы в виде системы, где , , и оператор L:

В матрицы принимают вид:

Матрицы и удовлетворяют необходимому свойству симметрии [12], [19]:

1.2. Явный вид тензоров и векторов для однородной упруго-пористой флюидонасыщенной среды с электролитом

В этом Разделе приведен явный вид тензоров и векторов, рассмотренных в разделе 1.1, в случае однородной упруго-пористой флюидонасыщенной среды с электролитом.

Рассмотрим типичный пример мультифизического волнового уравнения в эффективных средах с твердым скелетом, содержащим наполненные жидкостью поры, при этом в жидкости содержатся электролиты (см. рис 1.1).

Рис 1.1

Таким образом в волновом уравнении присутствуют параметры и силы трех различных видов – жидкости, твердого тела и электро-магнитных полей. Векторы волновых полей, матрицы материальных параметров и матричный дифференциальный оператор имеют следующий вид:

Кинематические и динамические векторы волновых полней принимают вид:

где и - электрическое и магнитное поля соответственно, и - скорости частиц в твердом теле и жидкости соответственно, p – скалярный компонент давления жидкости, - вектор, составленный из компонентов тензора напряжения. Матрицы материальных параметров имеют вид:

где и - тензоры электрической и магнитной проницаемости среды соответственно, - параметры плотности в упругой и акустической средах соответственно, - тензор проводимости, - параметр вязкости жидкости, - тензор взаимодействия между упругими и электромагнитными волнами, - тензор проницаемости твердого пористого скелета, и - параметры жесткости твердого пористого скелета, I –единичная матрица. В изотропных средах , и C выглядят так:

где и - скалярные параметры электрической и магнитной проницаемости среды соответственно, и - коэффициенты Ламе. Наконец дифференциальные операторы имеют вид:

Коэффициенты , – это нормализующие множители, необходимые для того, чтобы удовлетворял свойствам вектора (см. подробнее в [10],[16]).

1.3 Постановка начально-краевой задачи

В этом Разделе рассматривается постановка начально-краевой задачи для t-гиперболических систем.

Вертикальное сечение модели блочной среды представлено на Рис.1.2

Рис.1.2

Пусть пространство состоит из M непересекающихся областей произвольной формы, которые представляют собой материальные среды с различными параметрами. Границы каждой области обозначим за . Каждая область разделена с соседними (смежными с ней) кусочно-регулярными двусторонними поверхностями . Кроме того, некоторые области имеют бесконечно отдаленные границы (см Рис.1.1). В каждой из областей может находиться источник, объемная плотность которого не равна нулю, т. е. . Нормали к границам направлены внутрь области. Каждая граница представима в виде объединения регулярных частей этой границы, сингулярных элементов первого рода – ребер, второго рода – вершин, а также (если они есть) бесконечно отдаленных границ, т. е.