Волновые процессы в областях сложной формы в терминах композитных поверхностных интегральных операторов (стр. 7 )

где - столбец неизвестных коэффициентов размерности (важно, что число - четное), - прямоугольная матрица размерности , составленная из собственных векторов при , - диагональная матрица размерности , содержащая экспоненты из.

Так как предельное значение матрицы экспонент в точках, близких границе, имеет вид:

то при принимает вид:

Подставив представление в при , получим:

Далее, применяя прямое преобразование Фурье к , запишем в операторной форме:

,

где введен оператор свертки по криволинейной поверхности с ядром:

,

и вектор:

В дальнейшем, необходимо применять соотношение, обратное к. Однако матичный оператор прямоугольный. Поэтому подействуем слева на уравнение матрицей , согласующей размерности векторов и и выразив , в итоге получим:

4.2 Композитный поверхностный интегральный оператор распространения

В этом разделе вводится композитный поверхностный интегральный оператор, являющийся целью данной работы.

Подействовав матрицей вращения R слева на соотношение и применив тождество , получим:

Применив к, получим:

Применив к, получим:

где введен - волновой вектор, содержащий амплитуды волн, бегущих от внешнего источника. Применив матрицу согласования C из, получим:

Поскольку матрица обратима, можно подействовать на :

где введен композитный оператор:

.

Формула описывает формальное решение системы уравнений в терминах векторов волновых амплитуд в точках кусочно-регулярной границы области . Оператор – это композитный поверхностный интегральный оператор распространения, действующий в пределах области между регулярными гранями границы этой области. Композиция поверхностных интегральных операторов и спектральных операторов разложения граничных значений по обобщенным плоским волнам инвариантна по отношению к геометрической форме границ.

Преимущества, которые дает данное представление, заключаются в следующем:

Во-первых, волновые поля интерпретируются в виде суммы отдельных волн, приходящих от различных частей целевой границы, что позволяет работать с каждой волной по отдельности.

Во-вторых, несмотря на большую сложность оператора P в представлении, волновые поля аппроксимируются просто, так как фактически столбец a состоит из элементарных математических функций.

Заключение

В работе автором получены следующие основные результаты:

1) Получена модифицированная тензорная форма записи системы t-гиперболических уравнений первого порядка, инвариантная по отношению к типу эффективной модели среды.

2) Общие решения системы уравнений представлены в терминах композитных поверхностных интегральных операторов распространения для максимально произвольных неоднородных областей сложного строения с кусочно-регулярными границами.

3) Композиция поверхностных интегральных операторов и спектральных операторов разложения граничных значений по обобщенным плоским волнам инвариантна по отношению к геометрической форме границ.

Второй и третий результаты являются оригинальными разработками, полученными автором работы в соавторстве с научным руководителем. Первый результат носит реферативный характер.

Автор выражает благодарность научному руководителю к. ф.-м. н., доценту за постановку задачи, также д. ф.-м. н., профессору , д. ф.-м. н., доценту , д. ф.-м. н., профессору , д. ф.-м. н., доценту за содержательные комментарии к работе.

Литература

[1]  , Айзенберг решение акустического волнового уравнения в полупространстве, удовлетворяющее интегральному условию поглощения на регулярной границе. Тезисы докладов, Международная конференция «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», посвященная 100-летию со дня рождения , 5-12 октября 2008, Новосибирск, Россия, 2008, 89.

[2]  , , Реализуемая фундаментальная матрица сейсмоэлектромагнитного волнового уравнения в криволинейном трещиновато-пористом флюидонасыщенном слое. Динамика сплошной среды, “Акустика неоднородных сред”, труды Института гидродинамики им. СО РАН, Новосибирск, 2010, 126, 20-25.

[3]  , Описание отражения и преломления сейсмических волн на криволинейном контакте сред в терминах конволюционных операторов прохождения. Материалы 52-ой Международной научной студенческой конференции “Студент и научно-технический прогресс”, Математика. Изд. Новосибирский государственный университет, 2014. Вещественный, комплексный и функциональный анализ, стр. 34.

[4]  , Описание распространения сейсмических волн в неоднородной области сложной формы в терминах интегральных поверхностных операторов. Материалы 52-ой Международной научной студенческой конференции “Студент и научно-технический прогресс”, Математика. Изд. Новосибирский государственный университет, 2014. Вещественный, комплексный и функциональный анализ, стр. 34.

[5]  A. M. Aizenberg, A. A. Ayzenberg, Feasible fundamental solution to the acoustic wave equation in a heterogeneous halfspace with a regular boundary, Proceedings of the International Conference on Mathematical Methods in Geophysics “MMG-2008” dedicated to the 80th anniversary of A. S. Alekseev, 13-15 October 2008, 1–6.

[6]  Aizenberg A. M., Ayzenberg A. A. Feasible fundamental solution of the multiphysics wave equation in inhomogeneous domains of complex shape. Wave Motion, 2014 (представлена в журнал, прошла первую рецензию).

[7]  A. M. Aizenberg, K. D. Klem-Musatov, Progress in seismic diffraction theory – From edge and tip waves to multiple reflections-transmissions with diffractions, Extended Abstracts of the 72-th EAGE Conference & Exhibition (2010) G034.

[8]  A. M. Aizenberg, M. A. Ayzenberg, K. D. Klem-Musatov, Seismic diffraction modeling with the tip-wave superposition method, Extended Abstracts of the 73-th EAGE Conference & Exhibition (2011) B018.

[9]  A. M. Aizenberg, N. Y. Zyatkov, A. A. Ayzenberg, E. Z. Rakshaeva, New concepts of the transmission-propagation oerator theory in seismic diffraction modeling and interpretation, Extended Abstracts, 76th EAGE Conference, Amsterdam, Netherlands, 16-19 June 2014, We-P06-07.

[10]  B. A. Auld, Acoustic fields and waves in solids, Ruieger Publ. Co., Vol I, 1990, pp. 29-51.

[11]  M. A. Ayzenberg, A. M. Aizenberg, H. B. Helle, K. D. Klem-Musatov, J. Pajchel, B. Ursin, 3D diffraction modeling of singly scattered acoustic wavefields based on the combination of surface integral propagators and transmission operators, Geophysics, 2007, 72, 5, SM19-SM34.

[12]  S. Benzoni-Gavage, D. Serre, Multi-dimensional hyperbolic partial differential equations. First order systems and applications, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, New York, 2007.

[13]  A. M. Blokhin, V. N. Dorovsky, Mathematical modelling in the theory of multivelocity continuum, Nova science publishers, Inc., USA, 1995.

[14]  J. M. Carcione, G. C. Herman, A. P.E. ten Kroode, Seismic modeling, Geophysics, 67, 4 (2002) 1304-1325.

[15]  S. N. Chandler-Wilde, I. G. Graham, S. Langdon, E. A. Spence, Numerical-asymptotic boundary integral methods in high-frequency acoustic scattering. Acta Numerica, Cambridge University Press, 2012a, pp. 89–305.

[16]  C. Chapman, Fundamentals of seismic wave propagation, Cambridge University Press, New York, 2006.

[17]  M. Costabel, M. Dauge, On representation formulas and radiation conditions, Math. Methods Appl. Sci., 1997, 20, 2, 133-150.

[18]  F. G. Friedlander, Sound Pulses, Cambridge, Cambridge University Press, 1958.

[19]  S. K. Godunov, E. I. Romensky, Elements of Continuum Mechanics and Conservation Laws, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2003.

[20]  P. Grisvard, Boundary Value Problems in Non-Smooth Domains, Pitman, London, 1985.

[21]  H. M. de Hoop, A. de Hoop, Wavefield reciprocity and optimization in remote sensing, Proc. R. Soc. Lond. A, 2000, 456, 641-682.

[22]  H. Hörmander, Linear Partial Differential Operators, Springer–Verlag, 1963.

[23]  A. Huang, R. Temam, The linear hyperbolic initial and boundary value problems in a domain with corners, Math. AP., 2013.

[24]  K. Klem-Musatov, Theory of Seismic Diffractions, Investigations in Geophysics, No. 9, SEG, Tulsa, 1994.

[25]  K. D. Klem-Musatov, A. M. Aizenberg, J. Pajchel, H. B. Helle, Edge and Tip Diffractions: Theory and Applications in Seismic Prospecting, Geophysical Monograph Series, No. 14, SEG, Tulsa, USA, 2008.

[26]  A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis, Addison Wesley, 2001.

[27]  F. Kottler, Diffraction at a black screen, Part I: Kirchhoff's theory, In: Progress in Optics, Volume IV (E. Wolf, ed.) NorthHolland Publishing Co., Amsterdam 1965, 281-314.

[28]  M. A. Krasnosel’skii, G. M. Vainikko, P. P. Zabreiko, Ya. B. Rutitskii, V. Ya. Stetsenko, Approximate Solution of Operator Equations, Volters/Noordhoff Publishing, Groningen, 1972, xii+484 p. p.

[29]  S. S. Kutateladze, Fundamentals of Functional Analysis, Kluwer Academic Publishers, Kluwer Texts in the Mathematical Sciences, 1996, Vol. XII, XIV+277 p.

[30]  A. I. Madyarov, B. B. Guzina, A radiation condition for layered elastic media, J. Elast., 2006, 82, 73-98.

[31]  S. Osher, Initial-boundary value problems for hyperbolic systems in regions with corners, I. Trans. Amer. Math. Soc., 1973, 176, 141–165.

[32]  S. Osher, Initial-boundary value problems for hyperbolic systems in regions with corners, II. Trans. Amer. Math. Soc., 1974, 198, 155–175.

[33]  S. Penissi, A covariant approach to symmetrizable and constrained hyperbolic systems, Le Matematiche, 1999, 54, Fasc. I, 99-122.

[34]  J. Rauch, Hyperbolic partial differential equations and geometric optics, Department of Mathematics, University of Michigan, 2012, p. p. 301.

[35]  G. F. Roach, Scattering from unbounded surfaces, Proceedings of Dundee Conference, Pitman Research Notes, Longmans, London, 1993, 248-272.

[36]  J. Virieux, H. Calandra, and R.-E. Plessix, A new fast multi-domain BEM to model seismic wave propagation and amplification in 3-D geological structures, Geophys. Prosp., 59 (2011) 794-813.

[37]  Virieux, J., and S. Operto. An overview of full-waveform inversion in exploration geophysics. Geophysics, 2009, 74, 6, WCC127-WCC152.

[38]  K. Wapenaar, General representations for wavefield modeling and inversion in geophysics, Geophysics, 2007, 72, 5, SM5-SM17.

[39]  K. Wapenaar, J. Fokkema, Reciprocity theorems for diffusion, flow and waves, J. Appl. Mech, 2004, 71, 145-150.

[40]  K. Wapenaar, E. Slob, J. Fokkema, Reciprocity and power balance for piecewise continuous media with imperfect interfaces, J. Geophys. Research, 2004, 109, B10301, 1-9.

[41]  K. Wapenaar, H. Douma, A unified optical theorem for scalar and vectorial wave fields, J. Acoust. Soc. Am., 2012, 131, 5, 3611–3626.