где и - компоненты -ой строки и -го столбца матриц и соответственно (предполагается суммирование по повторным индексам). Далее, согласно правилу дифференцирования произведения:

Здесь a и b – вектор-функции, компонентами которых являются и соответственно. Переписывая в векторном виде, получим:

Наконец, вводим в рассмотрение диагональную матрицу K, обладающую свойствами:

Подставляя вместо вектора a в вектор Ka, получим:

2.2. Интегральные представления решения

В этом Разделе рассмотрено обобщение теоремы взаимности на матричный формализм и выведены интегральные представления общего решения системы.

Пусть точки x и y лежат в рассматриваемой области . Следуя [38], введем в рассмотрение векторы , схожие по структуре с вектором . С помощью введенных векторов строим матрицу стационарных фундаментальных решений:

.

Фундаментальная матрица удовлетворяет стационарному решению системы в области :

где - это дельта-функция Дирака, - единичная матрица. Можно заметить, что решение уравнения не единственно, так как оно содержит произвольную функцию, удовлетворяющую уравнению с нулевой правой частью. Поскольку решение уравнения не удовлетворяет каким-либо определённым граничным условиям, это решение принято называть фундаментальным решением.

Пусть область заполнена двумя средами и с матрицами состояний и соответственно, и - соответствующие решения уравнения (не единственные). Воспользуемся тождествами и :

Полученное тождество можно назвать обобщённой теоремой взаимности. Так как в данной работе исследуется поведение операторов прохождения внутри сред, второе слагаемое в правой части, связывающее материальные параметры двух разных сред, равно нулю. В итоге получается выражение, связывающее два волновых поля, оба из которых являются решением. Пусть этими решениями будут и :

где - правая часть, - рассматриваемая область, - её граница. Далее, перенося интеграл, содержащий , в левую часть, и воспользовавшись основным свойством дельта-функции, получим:

Как отмечено в Главе 1, матрица K выбирается таким образом, чтобы в можно было получить требуемый знак и избавиться от транспонирования. Таким образом, уже без K выражение перепишется:

Обобщённое интегральное представление описывает волновое поле . Важно отметить, что мы ищем общее решение уравнения в виде суммы решения однородного аналога этого уравнения, которое учитывает только данные при прохождении решения через границы - , и частного решения, появляющегося в условиях присутствия в рассматриваемой области источника - . Таким образом:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Нетрудно заметить, что в решения представлено именно в таком виде. С учётом можно утверждать, что в области , содержащей источник объёма , справедливо:

Стоит отметить, что . Это значит, что объёмный интеграл в уравнении можно брать по объёму .

Рассмотрим среду, вертикальное сечение которой представлено на рисунке

Рис.2.1

Как был отмечено выше (см. ), граница среды представима в виде объединения регулярных частей, ребер, вершин и бесконечно отдаленных границ:

В силу условий интегралы по всем частям поверхности, кроме регулярных, равны нулю. Таким образом, общее интегральное представление для рассматриваемой области , граница которой состоит из регулярных частей, имеет следующий вид:

где .

Для того чтобы найти неизвестные данные в поверхностных интегралах, воспользуемся предельными значениями волновых полей на поверхностях:

Формула описывает предельное интегральное представление для волнового поля , позволяющее найти неизвестные граничные данные в поверхностных интегралах в уравнениях.

3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ДЛЯ ЯДРА ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Важную роль в интегральном представлении играет ядро интегрального оператора , являющееся фундаментальным решением задачи. В этой Главе мы займёмся постановкой задачи для такого ядра, рассмотрим детально физические ограничения, а также изучим структуру фундаментальной матрицы . Для упрощения в этой Главе индекс области опускается.

3.1 Интегральное представление для ядра в однородной области

В этом Разделе рассматривается постановка задачи для физически реализуемых ядер интегральных представлений в однородной области.

Введем расходящееся фундаментальное решение в , следуя концепциям из [17]. Такое решение удовлетворяет классическим условиям излучения

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7