Волновые процессы в областях сложной формы в терминах композитных поверхностных интегральных операторов (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НОВОСИБИРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (Новосибирский государственный университет, НГУ)»

Механико-математический факультет

Направление подготовки «Механика и математическое моделирование», магистратура

Кафедра математических методов геофизики

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА Магистерская диссертация

Студента Таранина Никиты Александровича

Волновые процессы в областях сложной формы в терминах композитных поверхностных интегральных операторов

Руководитель: к. ф.-м. н., доц.

_________________

(подпись руководителя)

Студент: _____________________

(подпись студента)

Допуск к защите Зав. кафедрой, д. ф.-м. н., чл.-корр. РАН

______________________

(подпись зав. кафедрой)

Новосибирск

2016

Содержание

Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Элементы теории t-гиперболических систем уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1. t-гиперболическая система уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Явный вид тензоров и векторов для однородной

упруго-пористой флюидонасыщенной среды с электролитом. . . . . 13

1.3. Постановка начально-краевой задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2. Поверхностные интегральные операторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1. Теорема о дивергенции в терминах матричного формализма. . . . . .24

2.2. Интегральные представления решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

3. Постановка задачи для ядра интегрального представления. . . . . . . . . . . . . .33

3.1. Интегральное представление ядра в однородной области. . . . . . . . 33

3.2. Условия излучения, условия в окрестности ребер и вершин,

условия поглощения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

3.3. Структура фундаментального решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

3.4. О постановке задачи в неоднородной области. . . . . . . . . . . . . . . . . .43

4. Элементы спектральной теории. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1. Спектральное разложение решения в специальной

римановой системе координат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

4.2. Композитный поверхностный интегральный оператор

распространения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Введение

Сейсмический метод исследования недр Земли использует отраженные сейсмические волны для послойного восстановления структуры и свойств реальной среды по наблюдениям. Многие методы восстановления базируются на моделировании функции Грина для покрывающей среды, которая имитирует наблюдаемые волновые поля [37]. Поиск описания функции Грина для слоистой среды, которое обеспечит разумный баланс между вычислительной скоростью и аналитической точностью, остается актуальной фундаментальной проблемой математической волновой теории [14], [15], [36], [37]. В случае слабой латеральной неоднородности покрывающей среды функция Грина в достаточной мере представляется изолированной волной в первом вступлении. Тогда можно применять все многообразие методов моделирования функции Грина. Большинство из них будут давать достаточно точное изображение среды.

Для покрывающей среды с сильной латеральной неоднородностью (соляные тела, базальтовые слои и т. д.) построение сейсмического изображения – требующая затрат задача, привлекающая огромное внимание при поисках нефтяных месторождений. Наличие больших скоростных контрастов, неоднородностей, анизотропии и затухания вкупе со сложными формами геологических границ понижает разрешающую способность сейсмики. Современные методы построения изображения среды развиваются с учетом все более сложных моделей и с применением прецизионных алгоритмов [37]. Точность схемы построения изображения в большинстве случаев определяется ограничениями метода моделирования.

Строгая теория операторов прохождения-распространения, развитая в последнее время, дает точное аналитическое описание функции Грина для сложной среды [7], [8], [9]. Она основана на точном решении прямой задачи для неоднородной среды с кусочно-гладкими границами в форме суперпозиции волновых сигналов многократно отраженных и преломленных волн согласно их волновому коду (последовательности проходимых слоев). Этот подход восстанавливает функцию Грина со структурой, подобной наблюдаемому волновому полю. Каждый отдельный сигнал описывается композицией операторов распространения в неоднородных слоях и операторов прохождения (отражения и преломления) конволюционного типа на гладких границах.

Для численной реализации данной теории был разработан Метод Наложения Концевых Волн (МНКВ) [7], [8], [9], [11], [25]. МНКВ использует аппроксимации операторов прохождения и распространения в диапазоне сейсмических частот. По сравнению с численными методами моделирования МНКВ позволяет имитировать отдельные волны, приходящие от различных частей целевой границы. Многочисленными тестами было показано, что этот подход способен имитировать нерегулярности в волновом поле, например, каустики, и, порождая дифракции, головные и огибающие волны, которые не могут быть должным образом учтены при моделировании с помощью геометрической лучевой теории или геометрической теории дифракции. Возможность применять аппроксимацию операторов распространения и прохождения в диапазоне сейсмических частот независимо для каждого слоя дает возможность использования МНКВ как моделирующего ядра в целе-ориентированной инверсии и изображении [9].

Данная работа выполнялась автором во время специализации в группе распространения и дифракции сейсмических волн (научный руководитель к. ф.-м. н., доцент ) лаборатории “Динамические проблемы сейсмики” Института нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН с февраля 2013 года. Эта работа составляет часть исследований, проводимых в рамках тематического проекта по плану НИР, проводимых в ИНГГ СО РАН. Исследования автора работы были направлены на создание математического аппарата композитных поверхностных интегральных операторов распространения волн, который необходим для обобщения алгоритма МНКВ на эффективные модели сред (упруго-пористые, флюидонасыщенные и т. п.) со сложной формой границ. Такое обобщение было известно в существующей теории симметрических t-гиперболических систем для областей среды вырожденной геометрической формы. Так как на практике приходится строить решения для областей сложной геометрической формы, автору было необходимо модифицировать элементы теории интегральных представлений.

В ходе исследования автором были получены следующие основные результаты:

1) Модифицированная тензорная форма записи системы t-гиперболических уравнений первого порядка, инвариантная по отношению к типу эффективной модели среды.

2) Общие решения системы уравнений представлены в терминах композитных поверхностных интегральных операторов распространения для максимально произвольных неоднородных областей сложного строения с кусочно-регулярными границами.

3) Композиция поверхностных интегральных операторов и спектральных операторов разложения граничных значений по обобщенным плоским волнам инвариантна по отношению к геометрической форме границ.

Основные результаты исследований были представлены в докладах на 52-ой международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2014) [4]. Доклад получил диплом первой степени в секции “Математика” (подсекция “Вещественный, комплексный и функциональный анализ”).

Работа состоит из Введения, трех содержательных Глав, Заключения и списка литературы. В Главе 1 приведено универсальное описание t-гиперболических систем уравнений для волновых полей различной природы и поставлена начально-краевая задача для этих систем. В Главе 2 рассмотрено обобщение теорем о дивергенции и взаимности на тензорный формализм и выведены интегральные представления общего решения системы. В Главе 3 рассматривается постановка задачи для физически реализуемых ядер интегральных представлений, обсуждаются ограничения на класс решений на границах рассматриваемых сред, а также кратко дано описание структуры ядер. В Главе 4 описывается вывод поверхностного интегрального оператора распространения, являющегося основной целью данного исследования. В Заключении приведены основные результаты выполненной работы, дана оценка степени их новизны и личного вклада автора.

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ t-ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

В этой Главе приведено универсальное описание t-гиперболических систем уравнений для волновых полей различной природы и поставлена начально-краевая задача для этих систем.

1.1. t-гиперболическая система уравнений

В этом Разделе приведено описание t-гиперболических систем уравнений.

Волновые процессы (упругие, акустические, пьезоэлектрические, электромагнитные или оптические) в эффективной модели различных микроскопических сред описываются с помощью t-гиперболической системы уравнений в частных производных первого порядка [4]

,

где - столбец из N неизвестных скалярных функций, – объёмная плотность внешних сил. В дифференциальный оператор имеет вид

,